Tübitak Lise Takım Seçme 1991 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$a_{i}$ katsayıları $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ kümesinden olmak üzere $\vert x\vert <1$ için tanımlı $f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }{a_{i}x^{i}}$
fonksiyonu için $f\left(\frac{1}{10}\right)$ bir rasyonel sayıdır. Tamsayı katsayılı uygun $p(x)$ ve $q(x)$ polinomları ile fonksiyonun ($\vert x\vert <1$ için)
$$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ şeklinde yazılabileceğini kanıtlayınız.

[geo]

$f\left(\frac{1}{10}\right)=\overline{0,a_1a_2a_3a_4\dots }$ rasyonel olduğuna göre $\left(a_i\right)$ dizisi bir yerden sonra periyodik. $N$-inci terimden sonra $k$ terimlik periyodik olduğunu varsayalım. Her $n>N$ için $a_{k+n}=a_n$ olacaktır. Örneğin $0,12345674567456\dots =0,123\overline{4567}$ sayısı için her $n>N=3$ için  $a_{4+n}=a_n$ olacaktır. $g(x)$ ile tekrarlamayan kısmı $h\left(x\right)$ ile de tekrarlayan kısmı gösterelim. $$f\left(x\right)=g\left(x\right)+h(x),  g\left(x\right)=a_1x^1+\dots +a_Nx^N$$ ve $$h\left(x\right)=a_{N+1}x^{N+1}+a_{N+2}x^{N+2}+\dots +a_{N+1}x^{N+k+1}+a_{N+2}x^{N+k+2}+\dots $$ olacaktır. Yeniden düzenlediğimizde $$h\left(x\right)=a_{N+1}\left(x^{N+1}+x^{N+k+1}+x^{N+2k+1}+\dots \right)+a_{N+2}\left(x^{N+2}+x^{N+k+2}+x^{N+2k+2}+\dots \right) + $$ $$\dots +a_{N+k}\left(x^{N+k}+x^{N+2k}+x^{N+3k}+\dots \right)$$ elde ederiz. $\left(x^{N+i}+x^{N+k+i}+x^{N+2k+i}+\dots \right)\cdot \left(1-x^k\right)=x^{N+i}$ olacağı için $$h\left(x\right)\cdot \left(1-x^k\right)=a_{N+1}x^{N+1}+a_{N+2}x^{N+2}+\dots a_{N+k}x^{N+k}$$ sonlu katsayılı bir polinom elde edilir.

$f\left(x\right)\left(1-x^k\right)=g\left(x\right)\left(1-x^k\right)+h\left(x\right)(1-x^k)$ eşitliğinde her tarafı $\left(1-x^k\right)$ ile bölelim.
$f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)\left(1-x^k\right)+h\left(x\right)\left(1-x^k\right)}{1-x^k}=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ eşitliğinden

$p\left(x\right)=g\left(x\right)\left(1-x^k\right)+h\left(x\right)(1-x^k)$ ve $q\left(x\right)=1-x^k$ şeklinde tam katsayılı sonlu terimli iki polinom bulunabilir.