Tübitak Lise 2. Aşama 2012 Soru 6

[Lokman Gökçe]

Sırasıyla, $[AE]$ ve $[AF]$ doğru parçaları üstünde yer alan $B$ ve $D$ noktaları için, $ABF$ ve $ADE$ üçgenlerinin $A$ köşelerine ait dış teğet çemberleri aynıdır. Bu çemberin merkezi $I$, $[BF]\cap [DE]=\{C\}$ ve $IAB$, $IBC$, $ICD$, $IDA$, $IAE$, $IEC$, $ICF$, $IFA$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri sırasıyla, $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$ olsun.

• $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ noktalarının ve $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.
• Bu çemberlerin merkezleri sırasıyla, $O_1$ ve $O_2$ olmak üzere, $O_1$, $O_2$, $I$ noktalarının doğrudaş olduğunu gösteriniz.

(Ufuk Kanat)

[ERhan ERdoğan]

• Çözümün daha anlaşılır olması için bahsi geçen üçgenlerin çevrel çember merkezlerinin bulunuşunu ayrıca irdeleyelim.
  
  $ABC$ bir üçgen ve $I , A$ köşesine ait dış teğet çemberin merkezi olmak üzere; $ABI$ üçgeninin çevrel çember merkezi $IC$ üzerinde ve benzer şekilde, $ACI$ ve $BCI$ üçgenlerinin de sırasıyla $IB$ ve $IA$ üzerinde olacaktır. Bunu aşağıdaki örnek şekilde açılar arasındaki ilişkileri inceleyerek görebiliriz.   
  
  
  
  
  Bu açıklama yardımıyla $(IAB)$ ile $(ICD)$ çemberlerinin merkezleri olan $P_{1}$ ve $P_{3}$ , $IF$ üzerinde , $(IBC)$ ile $(IDA)$ çemberlerinin merkezleri olan $P_{2}$ ve $P_{4}$ , $IE$ üzerinde olacaktır.
  Benzer şekilde $(IAE)$ ile $(ICF)$ çemberlerinin merkezleri olan $Q_{1}$ ve $Q_{3}$ , $ID$ üzerinde, $(IEC)$ ile $(IFA)$ çemberlerinin merkezleri olan $Q_{2}$ ve $Q_{4}$ , $IB$ üzerinde olacaktır.
  
  Ayrıca açıortayın açısal özelliklerinden;
  $$\angle BIA = \angle CID =\dfrac{\angle BFA}{2} = \alpha$$
  ve
  $$\angle EIB = \dfrac{\angle BCE}{2} = \dfrac{\angle DCF}{2} =\angle FID = \beta$$
  olur.
  Buraya kadar bulunanlar ile
  $$\Delta P_{1}AI\sim \Delta P_{2}CI ,\Delta P_{4}AI\sim \Delta P_{3}CI , \Delta Q_{1}AI\sim \Delta Q_{2}CI , \Delta Q_{4}AI\sim \Delta Q_{3}CI $$
  benzerliklerinin varlığını görebiliyoruz. Şimdi bu benzerliklerin getirdiği oranları yazalım.
  $$\Delta P_{1}AI\sim \Delta P_{2}CI ,\Delta P_{4}AI\sim \Delta P_{3}CI\Rightarrow \dfrac{|AI|}{|CI|}=\dfrac{|IP_{1}|}{|IP_{2}|}=\dfrac{|IP_{4}|}{|IP_{3}|}\Rightarrow |IP_{3}|\cdot|IP_{1}|=|IP_{2}|\cdot|IP_{4}|\tag{1}$$
  $$\Delta Q_{1}AI\sim \Delta Q_{2}CI , \Delta Q_{4}AI\sim \Delta Q_{3}CI\Rightarrow \dfrac{|AI|}{|CI|}=\dfrac{|IQ_{1}|}{|IQ_{2}|}=\dfrac{|IQ_{4}|}{|IQ_{3}|}\Rightarrow |IQ_{3}|\cdot|IQ_{1}|=|IQ_{2}|\cdot|IQ_{4}|\tag{2}$$
  $(1)$ ve $(2)$ de bulunan eşitlikler bizden istenenin doğruluğunu göstermektedir.
  
  
  
• $P_{2} , P_{3} , Q_{2} , Q_{3}$ noktaları $[IC]$ 'nın, $P_{1} , P_{4} , Q_{1} , Q_{4}$ noktaları $[IA]$ 'nın orta dikme doğrusu üzerinde bulunurlar. Orta dikmelerin $[IC]$ve $[IA]$ nı kestiği notaları sırasıyla $H_{1}$ ve $H_{2}$ ile gösterelim.
  
  
  
  
  $$\triangle IO_{2}O_{3}\sim\triangle IO_{1}O{4}\tag{3}$$
  ve
  $$\triangle IP_{2}P_{3}\sim\triangle IP_{1}P_{4}\tag{4}$$
  benzerliklerini inceleyeceğiz.
  
  $(3)$ benzerliği için üçgenleri çevrel çember yarıçapları sırasıyla $r_{1}$ ve $r_{2}$ olsun.Buna göre;
  $$\dfrac{|AH_{1}|}{|AH_{2}|}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\tag{5}$$
  $(4)$ benzerliği için üçgenlerin çevrel çember yarıçapları sırasıyla $R_{1}$ ve $R_{2}$ olsun.Buna göre;
  $$\dfrac{|AH_{1}|}{|AH_{2}|}=\dfrac{R_{1}}{R_{2}}\tag{6}$$
  ''Bir üçgende yüksekliğin izogonal eşleniği olan doğru,üçgenin çevrel merkezinden geçmektedir''. Aşağıda verilen şekilde $AH$ ile $AO$ izogonal eşleniktir yani ; $\angle BAH=\angle CAO$
  
  
  
  
  Buna göre, $\triangle IQ_{2}Q_{3}$ ve $\triangle IP_{2}P_{3}$ nin çevrel merkezleri bu üçgenlerin yüksekliği olan $AH_{1}$ in izogonal eşleniği $AH_{2}$ üzerinde bulunurlar.
  Benzer şekilde, $\triangle IQ_{1}Q_{4}$ ve $\triangle IP_{1}P_{4}$ nin çevrel merkezleri de bu üçgenlerin yükseklikleri olan $AH_{2}$ nin izogonal eşlenği $AH_{1}$ üzerindedir.
  
  
  
  
  $(IQ_{2}Q_{3}), (IP_{2}P_{3}), (IQ_{1}Q_{4}) ,(IP_{1}P_{4})$ çemberlerinin merkezleri sırasıyla $K,L,M,N$ olsun.
  
  $MO_{2}\perp P_{1}P_{4} , NO_{1}\perp P_{1}P_{4}$ olduğundan $AH_{2}\parallel MO_{2}\parallel NO_{1}$ dir.
  
  $LO_{1}\perp P_{2}P_{3} , KO_{2}\perp P_{2}P_{3}$ olduğundan $AH_{1}\parallel KO_{2}\parallel LO_{1}$ dir.
  
  Buradan $IKO_{2}M$ ile $ILO_{1}N$ dörtgenlerinin birer paralelkenar olduğunu görüyoruz.
  
  $|IK|=r_{1} , |IL|=R_{1} , |IM|=r_{2} , |IN|=R_{2}$
  
  değerleri için $(5)$ ve $(6)$ eşitliklerini de göz önüne alırsak, temel benzerlik $O_{1}-O_{2}-I$ noktalarının doğrusallığını gerçekler.