Cevap: $0\le k\le l$ tamsayılar olmak üzere, $n=7^k$ ve $n=7^k+7^l$ formatındaki sayılar bu şartı sağlar.
Öncelikle bir Lemma tanımlayalım:
Lemma: $Q(x)$ tamsayı katsayılı bir polinom, $p$ bir asal sayı ve $m$ de bir pozitif tamsayı olmak üzere, ${[Q(x)]}^{p^m}$ ile $Q(x^{p^m})$ polinomlarının katsayıları $\bmod p$ de birbirine denktir.
İspat: Öncelikle $m=1$ için ispatlayalım, sonra tümevarımla Lemma'yı her $m$ için ispatlayacağız. $Q(x)=\sum^n_{i=0}{a_ix^i}$ olarak tanımlayalım.
${[Q(x)]}^p=\sum{a_{i_1}a_{i_2}}\dots a_{i_p}x^{i_1+i_2+\dots + i_p}$ şeklindedir. $a_{i_1}a_{i_2}\dots a_{i_p}x^{i_1+i_2+\dots + i_p}$ ifadesi toplamda $(a_{i_1},a_{i_2},\dots a_{i_p})$ nin permütasyonlarının sayısı kadar geçmektedir. Dolayısıyla $(a_{i_1},a_{i_2},\dots , a_{i_p})$ nin permütasyonlarının sayısının $p$ ile bölündüğü durumları, $p$ modunda baktığımızdan ötürü çıkarabiliriz. Diğer taraftan, bu permütasyonların sayısı $\dfrac{p!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_t!}$ ($k_1+k_2+\dots +k_t=p$) formatındadır ($\ i=1,2,\dots ,n$ olmak üzere $x_i$ tane $y_i$ nin permütasyonlarının sayısı $\dfrac{(x_1+x_2+\dots +x_n)!}{x_1!x_2!\dots x_n!}$ dir.) ve $p$ asal olduğundan, bu ifadenin $p$ ile bölünmediği tek durum, $k_1=p,\ t=1$ durumudur. Bu istisnai durum da ancak $a_{i_1}=a_{i_2}=\dots =a_{i_p}$ iken mümkündür. Yani $p$ modunda bu şartın sağlanmadığı tüm ifadeler 0 a denktir. Sonuç olarak ${[Q(x)]}^p=\sum{a_{i_1}a_{i_2}}\dots a_{i_p}x^{i_1+i_2+\dots i_p}\equiv \sum^n_{i=1}{{a_i}^p}x^{pi}\pmod p$ bulunur. Son olarak, Küçük Fermat Teoremi'nden ${a_i}^p\equiv a_i \pmod p$ olduğundan bu polinomun katsayıları da $\bmod p$ de $\sum^n_{i=1}{a_ix^{pi}}=Q(x^p)$ polinomun katsayılarına denk olur ve Lemma'nın $m=1$ ispatı tamamlanır.
Şimdi, varsayalım Lemma bir $m\ge 1$ doğrudur, $m+1$ için inceleyelim. Tümevarım varsayımını $m$ için kullanarak: ${[Q(x)]}^{p^{m+1}}={[Q(x)]}^{p^m}.{[Q(x)]}^{p^m}\dots .{[Q(x)]}^{p^m}\equiv \ {\left[Q\left(x^{p^m}\right)\right]}^p\pmod p$. Diğer taraftan, $R\left(x\right)=Q(x^{p^m})$ polinomu için Lemma'nın $m=1$ durumunu kullanarak ${[R(x)]}^p\equiv R\left(x^p\right)\pmod p$ olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak ${[Q(x)]}^{p^{m+1}}\equiv \ {\left[Q(x^{p^m})\right]}^p\equiv Q\left(x^{p^{m+1}}\right)\pmod p$ bulunur. Tümevarım varsayımı $m+1$ için de doğrudur, tümevarımdan ispat biter.
Şimdi, Lemma'yı $p=7$ için kullanarak $0\le k\le l$ tamsayılar olmak üzere, $n=7^k$ ve $n=7^k+7^l$ sayılarının şartı sağlayacağını ispatlayalım:
$P_{7^{k} } (x)=(x^{2} +x+1)^{7^{k} } -(x^{2} +x)^{7^{k} } -(x+1)^{7^{k} } +x^{2\cdot 7^{k} } +x^{7^{k} } +1$
$\equiv ((x^{7^{k} } )^{2} +x^{7^{k} } +1)-((x^{7^{k} } )^{2} +x^{7^{k} } )-(x^{7^{k} } +1)+x^{2\cdot 7^{k} } +x^{7^{k} } +1\equiv 0 \pmod 7$,
$n=7^k$ şartı sağlar.
$P_{7^{k} +7^{l} } (x)=(x^{2} +x+1)^{7^{k} +7^{l} } -(x^{2} +x)^{7^{k} +7^{l} } -(x+1)^{7^{k} +7^{l} } +x^{2.(7^{k} +7^{l} )} +x^{7^{k} +7^{l} } +1$
$\equiv ((x^{7^{k} } )^{2} +x^{7^{k} } +1)\cdot ((x^{7^{l} } )^{2} +x^{7^{l} } +1)-((x^{7^{k} } )^{2} +x^{7^{k} } )\cdot ((x^{7^{l} } )^{2} +x^{7^{l} } )-(x^{7^{k} } +1)\cdot (x^{7^{l} } +1)+$ $+x^{2.(7^{k} +7^{l} )} +x^{7^{k} +7^{l} } +1\equiv 0 \pmod 7$,
$n=7^k+7^l$ istenen şartı sağlar.
Şimdi diğer $n$ tamsayıları için koşulun sağlanmayacağını gösterelim. $n=1$ ve $n=2$ şartı sağladığından, $n>2$ varsayabiliriz.
Lemma'yı kullanarak
$P_{7m} (x)=(x^{2} +x+1)^{7m} -(x^{2} +x)^{7m} -(x+1)^{7m} +x^{14m} +x^{7m} +1$
$\equiv ((x^{7} )^{2} +x^{7} +1)^{m} -((x^{7} )^{2} +x^{7} )^{m} -(x^{7} +1)^{m} +(x^{7} )^{2m} +(x^{7} )^{m} +1=P_{m} (x^{7} ) \pmod 7$ bulunur. Yani $7m$ istenen şartı sağlıyorsa $m$ de sağlar, dolayısıyla genelliği bozmadan $n$ nin $7$ ile bölünmediğini varsayabiliriz.
$n>2$ için $P_n$ polinomunda $x^3$ ün katsayısının $n(n-1)$ olduğu açıktır. $\left(n,7\right)=1$ olduğundan, $7|n-1$ sağlanmalıdır. $a\ge 1$ ve $b\ge 2$ tamsayılar ve $7\nmid b$ olmak üzere, $n=1+7^ab$ olsun.
Tüm denklikler $7$ modunda olmak üzere, Lemma'yı kullanarak
${(x^2+x+1)}^n\equiv (x^2+x+1){\rm \ }{(x^2+x+1)}^{7^ab}\equiv (x^2+x+1){(x^{2\cdot 7^a}+{x^7}^a+1){\rm \ }}^b$
$\equiv 1+x+x^2+bx^{7^a}+bx^{7^a+1}+bx^{7^a+2}+$ (derecesi $2\cdot 7^a$ veya daha büyük olan terimler)
${(x+1)}^n\equiv 1+x+bx^{7^a}+bx^{7^a+1}+$ (derecesi $2\cdot 7^a$ veya daha büyük olan terimler)
${(x^2+1)}^n\equiv 1+x^2+$ (derecesi $2\cdot 7^a$ veya daha büyük olan terimler)
${(x^2+x)}^n\equiv $ (derecesi $2\cdot 7^a$ veya daha büyük olan terimler)
elde ederiz (En son denklikte $b\ge 2$ olduğunu kullandık).
Buradan $P_n(x)\equiv bx^{7^a+2}+$ (derecesi $2\cdot 7^a$ veya daha büyük olan terimler) çıkar. Bu da $b$ sayısı $7$ ile bölünmediği için $P_n(x)$ polinomunun $x^{7^a+2}$ teriminin katsayısının $7$ ile bölünmediğini kanıtlar. Demek ki diğer $n$ tamsayıları için koşulun sağlanmaz, ispat biter.
