dörtgenin maximum alanı {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

AC=1 , m(BAC)=m(DAC)=45^o ve m(BCD)=30^o olan ABCD dörtgeninin alanı en çok kaçtır?

[alpercay]

ABCD dörtgeninin alanının en büyük olması için köşegenlerinin dik kesişmesi gerektiğini biliyoruz.Yani  [AC] dik [BD].Alan(ABD) ve Alan(BCD) en büyük değerini aldığında dörtgenin alanı en büyük olur.Sinüslü alan formülünden bu üçgenlerin en büyük alana sahip olması için |AB|=|AD|  ve  |BC|=|CD| olması gerekir.Yani ABCD dörtgeni bir deltoit olmalıdır.Gerekli hesaplamalar yapılarak maksAlan(ABCD) = 1 /(3 + kök(3)) birimkare bulunur.

[geo]

[ABCD] = 1/2.(AB+AD)AC.sin 45 olduğu için dörtgenin max alanı için AB+AD nin max olması gerekiyor.
m(BCD)=30 olacak şekilde iki örneklem alalım.
Birincisi m(ACB')=15 ve m(ACD')=15 olsun.
Diğeri de, B'' noktası [AB] üzerinde D'' noktası AD üzerinde ve m(B''CD'')=30 olacak şekilde noktalar olsun.
m(B'CBB'')=m(D'CD'')=a ve B'C = CD' olacaktır.
B'B''C üçgeni ile D'D''C üçgeninde eşit olan  CD'=B'C kenarlarını gören açılar arasında
m(B'B''C) = 60 - a ve m(D'CD'') = 120 - a bağıntısı olduğu ve 0<a<15 olduğu için
sin(D'D''C) > sin (B'B''C) olur. Gördükleri kenarlar eşit olduğu için sin değeri küçük olan daha büyük çevrel çapa sahip olacak. Bu durumda B'CB'' = D'CD'' = a açılarının gördükleri kenarlardan D'D''<B'B'' olacaktır.
Bu durumda AB''+AD'' < AB'+AD' dür.
Yani dörtgen en büyük alanını söz konusu köşegen iki açının da açıortayı iken, yani dörtgen deltoid iken alır.