Kenarortayın kenarla 90'lik açı yaptığı bir başka soru {çözüldü}

[geo]

ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde BD=2, BE=EC=3, m(BAE)=90 ve m(EAC)=30 şartlarını sağlayan D ve E noktaları alınıyor. AD=?

[alpercay]

Aklıma gelen ilk çözüm şöyle:E noktasından AB ye çizilen paralel AC yi F noktasında kessin.AEF dik üçgeninde EF=k dersek AF=FC=AB=2k  ve  AE=k.kök(3) bulunur.ABC üçgeninde AE kenarortayına göre kenarortay teoremi uygulanırsa  k=3/kök(7) bulunur.ABE üçgeninde  Stewart Teoremi'nden  x=4/kök(7) bulunur.

[geo]

Aklıma gelen ilk çözüm şöyle:E noktasından AB ye çizilen paralel AC yi F noktasında kessin.AEF dik üçgeninde EF=k dersek AF=FC=AB=2k  ve  AE=k.kök(3) bulunur.ABC üçgeninde AE kenarortayına göre kenarortay teoremi uygulanırsa  k=3/kök(7) bulunur.ABE üçgeninde  Stewart Teoremi'nden  x=4/kök(7) bulunur.

Paraleli AD ile kesişecek şekilde uzatırsanız, çok güzel bir şeyle karşılacaksınız.

[geo]

Çözüm 1:
alpercay hocamızın yaptığı...
C'den paralel çizerek de aynı sonuca gideriz.

Çözüm 2:
AB = 2.AC 'ye kadar Çözüm 1'i yapıyoruz.
Paraleli AD ile kesiştiriyoruz. Bu noktaya G diyelim. AB:EG = BD:DE = 2:1 = AB:EF ⇒ EF = EG ⇒ △AGF ikizkenar üçgen ve AE, ∠DAC'nin açıortayı.
Bu durumda AD:AC= DE:EC=1:3, △DAC üçgeninde Kosinüs Teoreminden AD=4/√7 elde edilir.

Tüm bunlar, C'den çizilen paralel ile de yapılabilirdi.

Çözüm 3:
AB = 2.AC 'ye kadar Çözüm 1'i yapıyoruz.
AB:AC = 1:2 = BD:DC olduğu için △ABC üçgeninde AD açıortay. Açıları yazdığımızda AE, ∠DAC'nin açıortayı olacaktır. Gerisi Kosinüs teoremi.

Çözüm 4:
E noktasının D ve C'ye olan uzaklıkları oranı 1:3
B noktasının D ve C'ye olan uzaklıkları oranı 2:6=1:3
Bu durumda, E ve B noktaları, D ve C noktaları ve k=1/3 oranı için tanımlı Apolonyus çemberi üzerindedir. Bu çemberin çapı BE'dir. A, BE çaplı çember üzerinde olduğu için, A da geometrik yer üzerindedir. Bu durumda  △DAC  üçgeninde AE içaçıortay, AB dışaçıortay olur. Gerisi Kosinüs teoremi.

Oranların eşitliği yakalandıktan sonra direkt açıortaylara geçiş yapılabilir.