Hüseyin Demir'den (AMM 1965) {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Hüseyin Demir'in 1965 yılında, dünyanın en prestijli matematik dergilerinden biri olan AMM'de yayınlanan bir problemini sunalım:

[ERhan ERdoğan]

...

[alpercay]

Hoş bir ispat Erhan Hocam,tebrikler.İspatta şu eşitliği de kullanabiliriz ancak önce kanıtlanması gerekiyor.

2 / h_a = 1 / r_b + 1 / r_c

Eşitlik a,b,c indislerinin permütasyonları için de elbette doğru. Bunu ispatlarsak H.Demir'in sorusuna netten başka bir çözüm daha aktarabiliriz.

[alpercay]

Bu eşitliğin doğru olduğunu varsayalım.Eşitliği diğer kenarlar için yazıp bunları toplarsak

 1 / h_a + 1 / h_b + 1 / h_c = 1 / r = 1 / r_a + 1 / r_b + 1 / r_c eşitliğini elde ederiz.Burada son eşitliği ispatlamadan devam edeceğiz.Şimdi
 
 a.h_a / 2 = u.r den türeyen  1 / h_a = a / 2ur eşitliklerini toplarsak

 1 / h_a + 1 / h_b + 1 / h_c = (a + b + c) / 2ur
 1 / h_a + 1 / h_b + 1 / h_c = 1 / r =  1 / r_a + 1 / r_b + 1 / r_c eşitliği elde olunur.Bu son eşitlik doğru olduğundan varsaydığımız  2 / h_a = 1 / r_b + 1 / r_c ....(1) eşitliği de doğru olur.Artık sorumuza dönebiliriz.a,b,c indisleri yerine 1,2,3 indislerini kullanalım.Bizden istenen toplamı  (1) eşitliğini kullanarak açıkça yazalım:

 Top[i = 1 den 3'e](r_i / h_i) =(1 / 2)[(1 / r₂ + 1 / r₃).r₁ + (1 /r₃ + 1 / r₁).r₂+(1 / r₁ + 1 / r₂).r₃] = (1 / 2)[( r₁ / r₂ + r₂ / r₁) + (r₁ / r₃ + r₃ / r₁) + (r₂ / r₃ + r₃ / r₂)]

Parantez içindeki herbir toplam AO-GO eşitsizliğinden 2  den büyük eşit olacağından

 r_a / h_a + r_b / h_b + r_c / h_c >= (1/2).6 = 3 elde edilir.
 
2 / ha = 1 / rb + 1 / rc  eşitliği  h_a uzunluğunun r_b ve  r_c uzunluklarının harmonik ortası olduğunu söylemekte.Bu eşitliğin geometrik ispatını yapan/bilen  varsa paylaşırsa sevinirim.

[ERhan ERdoğan]

bu şekilde görebiliriz Alper hocam

(u-b).r_b = Δ  ,  (u-c).r_c = Δ   ⇒  r_b = Δ/(u-b)  ve  r_c = Δ/(u-c)

1/r_b + 1/r_c = (2u-b-c)/Δ = a/Δ = 2a/a.h_a = 2/h_a

[alpercay]

Sağol Hocam ispat için.Asıl istediğim şu:
ABC üçgeninin AC ve  AB kenarlarına ait dış teğet çemberleri çizelim.Bu çemberlerin merkezleri  sırasıyla I_b  ve I_c olsun.A köşesinden BC doğrusuna inen yükseklik  h_a ve merkezlerden bu doğruya inen dikmelerin boyları da  r_b ve  r_c olsun.r_b ve r_c tabanlar olmak üzere oluşturulan dik yamukta köşegenler h_a yüksekliği üzerinde kesişiyorsa istediğimiz harmonik orta  eşitliği sağlanır.Bunu nasıl gösterebiliriz?

[ERhan ERdoğan]

Anladım Alper hocam,
I_bA / I_cA = r_b/r_c olduğunu mekezlerden AB ve AC ye çizdiğimiz dikmelerin getirdiği üçgenlerde benzerlikten görüyoruz.Buradan sonra yamuk içerisinde bir köşegen çizersek yüksekliğin bu köşegende ayırdığı parçaların oranı yarıçaplar oranına eşittir diğer köşegeninde aynı noktadan geçeceğini benzerlik bize gösterir çok detaya girmedim hocam anlaşılır olmuştur umarım