simetrik denklemler

[Lokman Gökçe]

Problem 1:

x² + y² = 5
x³ + y³ = 9

denklem sisteminin

a) tüm (x, y) reel sayı ikilisi çözümlerini bulunuz.
b) tüm (x, y) karmaşık sayı ikilisi çözümlerini bulunuz.

[proble_m]

Şöyle düşündüm:

x²+y²=5 -->> (x+y)²-2xy=5  (1)
x³+y³=9 -->> (x+y)³-3xy(x+y)=9  (2)

(1) ve (2) nolu denklemlerden xy terimlerini yanlız bırakarak k=x+y değişimiyle

k³-15k+18=0 denklemini buluruz.
Bu denklemde
(k-3).(k²+3k-6)=0 şeklinde çarpanlarına ayrılır:

k=3 için (x,y) = {(1,2),(2,1)} bulunur.(ki bu değerler en başta sezgisel olarak görülmektedir.)

k²+3k-6=0 denkleminden k=(-3+√33)/2 için de
x= ( √33 - 3 + √(6·√33 - 2)/4 ve y=( √33 - 3 - √(6·√33 - 2)/4
x= ( √33 - 3 - √(6·√33 - 2)/4 ve y=( √33 - 3 + √(6·√33 - 2)/4 bulunur.

k= (-3-√33)/2 için ise karmaşık iki (x,y) ikilisi bulunur:
x= ( -√33 - 3 - i.√(6·√33 + 2)/4 ve y= ( -√33 - 3 + i.√(6·√33 + 2)/4
x= ( -√33 - 3 + i.√(6·√33 + 2)/4 ve y=( -√33 - 3 - i.√(6·√33 + 2)/4

[Lokman Gökçe]

güzel çözüm, tebrikler hocam,

Problem 2:

x + y = 3, xy = 4 ise x⁷ + y⁷ kaçtır?


Problem 3: a > 0 ise aağıdaki denklem sisteminin tüm reel (x, y) ikilisi çözümlerini bulunuz.

x³ + y³ = 5a³
x²y + y²x = a³

[proble_m]

Problem 3:
x²y+xy²=a³ denklemini 3 ile çarpıp diğer denklem ile toplarsak:
(x+y)³=8a³ -->> x+y=2a bulunur.

Ayrıca denklemleri taraf tarafa çıkarırsak:

x²(x-y)+y²(y-x)=4a³ -->> (x-y)²(x+y)=4a³ olur.

İlk bulduğumuz x+y = 2a yı yerine yazarsak:

x-y = a√2  ve ya x-y = -a√2 olur.
x+y=2a ile çözülürse:

x=a(2+√2)/2  ve  y=a(2-√2)/2  veya simetrik olarak y ve x yer değiştirir.

[proble_m]

Problem 2:

x³+y³=(x+y)³-C(3,1)xy(x+y) = 27-3.4.3=-9
x⁵+y⁵=(x+y)⁵-C(5,1)xy(x³+y³)-C(5,2)x²y²(x+y) = 243-5.4.(-9)-10.16.3 = -57
x⁷+y⁷=(x+y)⁷-C(7,1)xy(x⁵+y⁵)-C(7,2)x²y²(x³+y³)-C(7,3)(xy)³(x+y) = 2187-7.4.(-57)-21.16.(-9)-35.64.3 = 87

[FEYZULLAH UÇAR]

Lokman Hocamın herkese selamı var..Antalyalardan sizlere bir sorusu var.

Soru[L.Gökçe] :    x+y=1  ,  x.y=-1  olduğuna göre x¹³+y¹³ kaçtır?

[Lokman Gökçe]

tekrar selamlar, antalyadaki yoğun tübitak matematik kampımız sona erdi. ben de klavyenin başına geçtim

elbette (x + y)¹³ binom açılımı ve özdeşlikler kullanılıp bir hayli işlem yaptıktan sonra sonuca ulaşılabilir. soruyu oluştururken amacım, basit bir fikirden hareketle xⁿ + yⁿ toplamının nasıl hesaplanacağı ile ilgili bir yöntemi açıklamaktı. ipucu vereyim: çıkış noktamız bir doğrusal indirgemeli dizi kurmak olacak.

[FEYZULLAH UÇAR]

hoş geldiniz Lokman Hocam...Umarım komşuda pişen bizede düşer..  

Soruya gelince .....Ben verilenler dikkate alınarak

xⁿ+yⁿ=a
xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹=b  iken xⁿ⁺²+yⁿ⁺²=a+b
olduğunu göstererek bir çözüm yapmışatım ama  sizin veya arkadaşların çözümünü gördükten sonra benim çözümümü paylaşırım

[Lokman Gökçe]

Çözüm 4:
S_n = xⁿ + yⁿ diyelim. S₀ = x⁰ + y⁰ = 2, S₁ = x + y = 1 dir. Bu durumda S_n = (x + y).S_{n - 1} - xy.S_{n - 2} dir. (Bu eşitliğin sağlandığını göstermek kolay olduğu için üzerinde durmuyorum)

Sorunun çözümü bu S_n = (x + y).S_{n - 1} - xy.S_{n - 2} eşitliğine dayanıyor. Burada x + y = 1, xy = - 1 değerleri yazılırsa S_n = S_{n - 1} + S_{n - 2} bulunur. Bu indirgeme bağıntısına göre önceki iki terim biliniyorsa bir sonraki terim belirlenebilir. İşlemlerimde hata yoksa:

x² + y² = S₂ = 1 + 2 = 3

x³ + y³ = S₃ = 3 + 1 = 4

x⁴ + y⁴ = S₄ = 4 + 3 = 7

x⁵ + y⁵ = S₅ = 7 + 4 = 11

x⁶ + y⁶ = S₆ = 11 + 7 = 18

x⁷ + y⁷ = S₇ = 18 + 11 = 29

x⁸ + y⁸ = S₈ = 29 + 18 = 57

x⁹ + y⁹ = S₉ = 57 + 29 = 86

x¹⁰ + y¹⁰ = S₁₀ = 86 + 57 = 143

x¹¹ + y¹¹ = S₁₁ = 143 + 86 = 229

x¹² + y¹² = S₁₂ = 229 + 143 = 372

x¹³ + y¹³ = S₁₃ = 372 + 229 = 601

Problem 2 de bu yöntemle çözülebilir. Hatta diğer soruların çözümünde de S_n = (x + y).S_{n - 1} - xy.S_{n - 2} bağıntısını çalıştırabiliriz