integral ve seri {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

çözümü kısa, sonucu enteresan, klasik ve güzel bir soru

[alpercay]

ln 2 olmalı diyorum hala Lokman Hocam. 1/(1+x) in açılımından faydalanıyorum.

[Lokman Gökçe]

haklısınız hocam, ben soruyu yanlış yazmışım . İki tane çözümlü seri sorusu gönderiyorum. birisinin cevabı ln2, diğerinin cevabı da pi/4.

[idensu]

Bu arada bir hatırlatma yapmakistedim.  Fonksiyon  serilerde integralin toplam içine alınabilmesi için fonksiyon serisinin yakınsadığı fonksiyona düzgün yakınsaması gerekir. Eğer düzgün yakınsamıyorsa o zaman integral seri toplamının içine dağılmaz. Gerçi örnekler düzgün yakınsıyor ama yine de hatırlatayım dedim.

[Lokman Gökçe]

doğru söylüyorsunuz hocam çok rahat hareket edilmemeli, dikkatli olmak lazım. limit sembolü - integral sembolü ya da toplam sembolü - integral sembolü yer değiştirmelerinde düzgün yakınsama kontrol edilmeli.

[Saygın Dinçer]

Hocalarım verilen örneklerde serinin elemanlarının toplanma sırası sonucu değiştirir mi?

[Lokman Gökçe]

bu örneklerde fonksiyon serileri düzgün yakınsama yaptığından dolayı toplamın sırasını değiştirmek sonucu değiştirmez.

düzgün yakınsama yoksa toplamdaki terimlerin yerlerini değiştirmek sonucu değiştirebilir. hatta aşağıdaki örnekte olduğu gibi parantezlerin yerini değiştirmek bile sonucu değiştirebilir:

(-1)ⁿ,  n = 1,2,3,4,... dizisinin tüm terimlerinin toplamını bulunuz.

Çözüm 1: (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... =0

Çözüm 2: -1 + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = -1 + 0 + 0 + 0 + ... = -1

İki farklı sonuç elde ettik. Çelişkinin sebebi, aslında (-1)ⁿ kullanılarak elde edilen kısmı toplamlar dizisinin limiti bir sayıya yakınsamaz. bu seri ıraksaktır.

[Saygın Dinçer]

Düzgün yakınsama fonksiyon dizileri ya da fonksiyon dizilerinin toplanmasıyla elde edilen seriler için kullanılır.  Özellikle 1. örnek; bir  serinin terimlerinin yerinin değiştirildiğinde serinin farklı bir sayıya yakınsayabileceğini göstermek için sıklıkla kullanılır. Bir seri mutlak yakınsak ise terimlerin yerini değiştirmek serinin yakınsadığı değeri değiştirmez. Fakat bir seri koşullu yakınsak ise, o seri istenilen bir L gerçek sayısına yakınsayacak şekilde veya sonsuza ıraksayacak şekilde ya da sadece ıraksayacak şekilde yeniden düzenlenebilir. Verilen örnekteki seriler de koşullu yakınsak olduğundan bu serileri istediğimiz gerçek sayıya yakınsatabiliriz.

[Lokman Gökçe]

sağolun hocam, ben yanlış hatırlıyor olabilirim. dediğinizi örneklendirirseniz meseleyi daha iyi anlayabiliriz. hayırlı çalışmalar

[Saygın Dinçer]

Selamlar hocam. Sigma n= 1 den sonsuza kadar (-1)ⁿ⁺¹/n serisini (örneğin) 5'e yakınsayacak şekilde yeniden nasıl düzenleyebiliriz?
1 + 1/3 + 1/5 ... pozitif alt serisinin terimlerini toplayalım ta ki kısmi toplam 5'i geçinceye kadar. Söz konusu kısmi toplam 5'i geçince, negatif -1/2 -1/4 -1/8 ... serisinin ilk terimi olan -1/2'yi ekleyelim. Kısmi toplam 5'ten küçük olur. Toplam 5'i geçinceye kadar pozitif alt serinin terimlerini kısmi toplama ekleyelim. Kısmi toplam 5'i geçince negatif serinin ikinci terimi olan -1/4'ü ekleyelim... Bu şekilde kısmi toplam 5 civarında ileri geri salınım yaparak 5'e yakınsar.

[Lokman Gökçe]

güzel bir yaklaşımmış hocam, teşekkürler.