eşitsizlik {Çözüldü}

[FEYZULLAH UÇAR]

hoş bir soru

[cem29]

alakanız için teşekkürler cem bey

felix...

[senior]

Çözümde dikkatten kaçan ve tamamlanması gereken ufak bir nokta var.
2/xyz ve (xy+yz+xz)/xyz ifadelerini sırasıyla 54 ve 9 yapan x,y,z sayılarının birbirinin aynısı olması gerekiyor.
Yani 2/xyz = 54 iken belki de (xy+yz+xz)/xyz >= 10 diye bir eşitsizlik sağlanacak ve cevap 65 olacak(cevabın 64'ten büyük olduğu kesin ama belki daha büyük bir üst sınır var), bunu bilmiyoruz. Ama,  x=y=z=1/3 için bu mümkün.

[cem29]

x,y,z nin farklı olduğu söylenmemiş, çözüm her iki şık içinde yapılmıştır, sonucun için de 65 de var. Değerler farklı ise eşitsizlikteki eşitliği kaldırısınız olur biter. Daha başka bir üst sınır yok, aynı değerli değişkenler için cevap 64, farklılar için cevap 65, tabiî cevabın tamsayı olarak bulunacağını kabul ediyoruz. Literatür incelenirse bu gibi, yâni toplamları 1 yapan pozitif sayılarla ilgili eşitsizlikler bu tarz çözüldüğü görülecektir.
Herkese iyi çalışmalar...

[Mathopia]

cem hocam msjınızı düzeltip imageshackten göndermis olduğunuz resmi forumumuzun imkanlarını kullanarak ekler misiniz?

[Lokman Gökçe]

cem hocam, (isminiz bu sanırım) öncelikle güzel çözümünüz için teşekkürler ...

güneş kardeşim hepimizin çoğu zaman atladığı bir noktaya işaret etmiş. alt sınır ya da üst sınır bulunduktan sonra gerçekten bu alt - üst sınırı elde edebileceğimiz x, y, z, a, b ... vs sayılarının var olduğu da gösterilmelidir. yani eşitsizlikte bazı değerler yerine yazılarak eşitlik durumu da ayrıca sağlatılmalıdır.

Literatürde bu işler böyledir türünden yaklaşımlara girmeyelim de, yapıcı ve olumlu bir eleştiri gelmiş madem; Allah razı olsun diyelim, doğru söylüyorsun deyip geçelim.

güzel çözümlerinizin devamını bekleriz, hayırlı çalışmalar

[cem29]

Teşekür ederim sağ olun scarface Hocam...Ama Literatüre neden karşı olduğunuzu anlamadım, literatür bir vakıadır ve vardır ve bir kaynaktır çalışmalara. Hocamız(senior) teşekkür dahi etmeden bir şeyler söylemiş, siz teşekkür ettiniz meselâ. Eksik kalan nokta var denmiş, eksik kalan nokta yok, problem motomot çözülmüş ve bitirilmiştir herşeyiyle...Aslında bu soru bir ispat sorusudur, yâni".... >=64 olduğunu gösteriniz"  tarzında. x,y,z leri bulursunuz veya bulmazsınız size kalmış bir şeydir.
Kendimi tanıtmam gerekirse bir üniveristede hocayım, tesadüfen denk geldim siteye ve girdim...

[senior]

Hocamız(senior) teşekkür dahi etmeden bir şeyler söylemiş,

Cem bey öncelikle çözümünüze teşekkür ederek başlamak istiyorum.

Ben bir şeyler söyledim, çünkü çözümde bir şey eksik.
Açıklamak gerekirse,
A > 64 ise ve başka bilgi yoksa A en az 64 olabilir ama başka bir bilgi varsa olmayabilir. Birbirine bağlı değişkenleri topluyoruz çünkü.
2/xyz ile (xy+yz+xz)/xyz aynı değişkenlere bağlıdır.

En basit örnek:
x+y+z <= 1 'i düşünelim.(x,y,z pozitif yada 0)

Aşağıdaki eşitsizliklerin hepsi doğrudur
x < 1
y < 1
z < 1
+___________
x + y + z < 3

Şimdi x+y+z <= 1 olmasaydı x,y,z arasında bir bağlantı olmayacaktı ve gerçekten de x+y+z 'nin en büyük değeri 3 olacaktı. Ama aralarındaki bu bağlantıdan dolayı, x+y+z en fazla 1 'dir.

Bizim sorumuzda
f(x,y,z) + g(x,y,z) >= 64 ise bu daha büyük bir üst sınırın olmadığı anlamına gelmez, ancak =64 olduğunu kanıtlarsak böyle bir şüpheye de düşmeyiz.

Aslında bu soru bir ispat sorusudur, yâni".... >=64 olduğunu gösteriniz"  tarzında. x,y,z leri bulursunuz veya bulmazsınız size kalmış bir şeydir.

Eğer soru gerçekten >=64 olduğunu gösteriniz şeklinde sorulsaydı tamamen haklı idiniz ama çarpımın en küçük değeri soruluyor.


Başka bir yanlış anlaşılma olmaması dileğiyle 

[Lokman Gökçe]

Literatüre, kitaplara ve kütüphanelere karşı değilim tabii ki ...  okuduğumuz kaynaklarda da eşitsizlik soruları çözülürken ''eşitlik hali ne zaman sağlanır?'' türünde sorularla sıkça karşılaşıyoruz.

Ayrıca hem bu problemde olduğu gibi ''en büyük değer kaçtır?'' , ''en küçük değer kaçtır?'' şeklindeki soruların çözümünde olsun, hem de ... >= 9/2 olduğunu kanıtlayınız şeklindeki soruların çözümünde olsun; bir sonuç bulunduktan sonra şüpheye düşmemek için değişkenin hiç olmazsa bir tane değeri için bu maksimum (ya da min.) sonucun elde edilebildiğini göstermek lazım geliyor. Bu şekilde bir yaklaşımla kafamızda hiçbir soru işareti kalmıyor, diye düşünüyorum. Literatürde de bu şekilde çözüm yapılıyor. Yazar bir süre sonra; okuyucunun eşitlik halinin ne zaman sağlandığına dair fikrinin ve sezgisinin yerleştiği kanaati oluşunca, artık değişkenlere sayısal değer verilmese de bu konuda okuyucuda bir şüphe kalmadığına dair kanaati oluşunca; sizin bıraktığınız gibi bırakmayı yeğleyebiliyor. 

ben çözümünüzü ilk okuduğumda çözümünüzün doğru olduğunu ve eşitliğin ne zaman sağlanacağını yazmasanız bile kullanılan ortalamalardan dolayı x = y = z iken istenen durumun gerçekleneceğini anlamıştım. muhakkak benim anladığımı, güneş kardeşim de anlamıştı. Sanıyorum ki, konu ile ilgili gerekli hassasiyet aramızda oluşsun diye değişkene değer verme noktasının üzerine parmak basmak istedi. Güneş'in çözümlerdeki küçük noktaları da izah etme, karanlıkta hiçbirşeyi bırakmamaya azami özen göstermesi özelliğini hep sevmişimdir

siz de zamanla seveceksiniz diye düşünüyorum hocam, hayırlı akşmalar... iyi çalışmalar

[senior]

anıyorum ki, konu ile ilgili gerekli hassasiyet aramızda oluşsun diye değişkene değer verme noktasının üzerine parmak basmak istedi. Güneş'in çözümlerdeki küçük noktaları da izah etme, karanlıkta hiçbirşeyi bırakmamaya azami özen göstermesi özelliğini hep sevmişimdir

Tşkler, lokman hocam. Bu tür problemlerle özellikle Türkiye Zeka Vakfı'nın Soru Maratonu adlı yarışmasında karşılaşıyordum. Mesela soruda maksimum öğrenci sayısını soruyor, bir mantık yürütüp birkaç eşitsizlik bulup, üst sınır belirlemeye çalışıyorsunuz. Bir şey bulduktan sonra da o sınırın aradığınız sayı olduğunu kontrol etmeniz gerekiyor. Eğer sağlıyorsa 100 puan cepte 

[cem29]

Sizin dediğiniz gib olsun Hocalarım, ben zaten siteye öylesine girmiştim. Hoşçakalınız...

[Lokman Gökçe]

hocam bir eşitsizlik sorusunda muhalefet ettik diye gidiyorsanız üzülürüm gerçekten.  çünkü güzel zaman geçirmek ve birbirimizden istifade etmek maksadı ile buradayız hepimiz.

[Mathopia]

hayat işte... öylesine bir foruma girip birşeyler öğrenmek... ne şans!

[alpercay]

Soru 1994 yılının 2.ulusal matematik olimpiyadından alınmış.Çözümü, zambak yayınlarının  meraklısına lise olimpiyat soruları kitabında mevcut. Hemen hemen aynı çözüm yapılmış orda da.Cem hocamın bahsettiği literatür bu sanırım.

[FEYZULLAH UÇAR]

ben ordan almadım