$x,y$ tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, \[ x^2 - 3xy + p^2y^2
=12p \] eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,p)$ üçlülerini bulunuz.

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin köşegenleri birbirine dik olarak $E$ noktasında kesişiyor. $[AD]$ kenarı üstünde yer alan $A$ dan farklı bir $P$ noktası $|PE|=|EC|$ koşulunu sağlıyor. $BCD$ üçgeninin çevrel çemberi de $[AD]$ yi yine $A$ dan farklı bir $Q$ noktasında kesiyor. $A$ dan geçen ve $EP$ doğrusuna $P$ noktasında teğet olan çember ise, $[AC]$ doğru parçasını $R$ noktasında kesiyor. $B$, $R$, $Q$ noktaları doğrudaş ise, $s(\widehat{BCD})=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

$a^3 + b^3 + c^3 = a^4 + b^4 + c^4$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, \[ \frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{a^3+b^2+c^3}+\frac{c}{a^3+b^3+c^2}\geq 1 \] olduğunu kanıtlayınız.

İçlerinde çeşitli renklerde toplar bulunan $2012$ torbayı $k$ kutuya

• herhangi bir kutudaki tüm torbalar aynı renkte bir top içerecek veya
  
• herhangi bir kutudaki her torba, bu kutudaki diğer torbalardan hiçbirinin içermediği renkte bir top içerecek
  

biçimde yerleştirmek istiyoruz. Torbalardaki topların sayıları ve renkleri ne olursa olsun, böyle bir yerleştirmeyi olanaklı kılan en küçük $k$ sayısını belirleyiniz.