Her terimi, $2\le p\le 11$ koşulunu sağlayan $p$ asal sayılarından en az biri ile bölünen $14$ ardışık pozitif tamsayı bulunup bulunmadığını saptayınız.

$ABC$ üçgeninin $B$ köşesinden geçerek $AC$ kenarına $E$ noktasında dik olan doğru, bu üçgenin $O$ merkezli çevrel çemberini $D$ noktasında kesiyor. $D$ den $BC$ kenarına inilen dikmenin ayağı $F$ noktası olduğuna göre $BO$ doğrusunun $EF$ doğrusuna dik olduğunu ispatlayınız.

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1}$ pozitif reel sayıları $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\ldots +\dfrac{1}{1+x_{n+1}}=1$$ koşulunu sağlıyorsa $$x_{1}x_{2}\ldots x_{n+1}\ge n^{n+1}$$ olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ konveks kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktasından $AB,BC,CD,DA$ kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları sıra ile $P,Q,R,S$ noktaları olduğuna göre, $$PQ+RS=QR+SP$$ eşitliğini ispatlayınız.

$1$ den $n$ ye kadar numaralanmış $n$ kutudan $1$ numaralı olanın kapağı açık; diğerlerinin kapakları kapalı bulunmaktadır. Birbirinin eşi $m$ toptan $(m\ge n)$ bir tanesi bu açık kutuya koyulunca $2$ numaralı kutunun kapağı açılıyor. Şimdi açık bulunan iki kutudan rastgele birine top koyulunca üçüncü kutu açılıyor. Bu şekilde devam edilerek son kutu da açıldıktan sonra geriye kalan top(lar) kutulara rastgele dağıtılıyor. Bu şartlar altında topların kutulara dağıtımı kaç farklı şekilde yapılabilir?

Yarıçapı $4$ birim olan bir dairenin içinde $251$ tane farklı nokta veriliyor. Bu noktalardan en az $11$ tanesini içeren, yarıçapı  bir birim olan bir daire çizilebileceğini gösteriniz.