Geomania.Org Forumları

$m_{1},m_{2}, \ldots ,m_{k}$, $2\le m_{1}$ ve $2m_{i}\le m_{i+1}$ $(i=1,2,\ldots ,k-1)$ koşullarını sağlayan tamsayılar olsun. Bu durumda, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ tamsayılar olmak üzere $$\begin{array}{rcl} x &\equiv& a_{1} \pmod {m_{1}}\\ x &\equiv& a_{2} \pmod {m_{2}}\\ &\vdots& \\ x &\equiv& a_{k} \pmod {m_{k}} \end{array}$$ bağıntılarından hiçbirini gerçeklemeyen sonsuz sayıda $x$ tamsayısının bulunduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeni ile bu üçgenin düzleminde, üçgenin $ \lbrack BC\rbrack ,\lbrack CA\rbrack ,[AB]$ kenarlarını sırasıyla çap kabul eden $k_{1},k_{2},k_{3}$ çemberleri çiziliyor. Çemberlerin kuvvet merkezi $K$, $\lbrack AK\rbrack \cap k_{1}=\{D\}$, $\lbrack BK\rbrack \cap k_{2}=\{E\}$ ve $\lbrack CK\rbrack \cap k_{3}=\{F\}$ olmak üzere, $Alan(\buildrel\triangle\over {ABC})=u$ , $Alan(\buildrel\triangle\over {DBC})=x$, $Alan(\buildrel\triangle\over {ECA})=y$ ve $Alan(\buildrel\triangle\over {FAB})=z$ ise, $$u^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$ olduğunu ispatlayınız.

$ \mathbb{N}$ ile pozitif tamsayılar kümesini gösterelim. Bir $A$ gerçel sayısı ile $a_{1}=1$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için, $$1<\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\le A$$ koşulunu sağlayan, üstten sınırlı olmayan bir $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ gerçel sayı dizisi verliyor.

• Her $n \in \mathbb{N}$ için $$1<\dfrac{A^{k(n)}}{a_{n}}\le A$$ eşitsizliklerini sağlayan tek bir $k:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ fonksiyonunun bulunduğunu ve $k$'nin azalmayan ve örten bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
• Yukarıdaki $k$ fonksiyonu her değeri en fazla $m$ kez alıyorsa, her $n \in \mathbb{N}$ için $C^{n}\le Aa_{n}$ olacak şekilde bir $C>1$ gerçel sayısının var olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ ($\vert AB\vert \ne |AC|$) üçgeninin $A$ açısının iç ve dış açıortayları $BC$ doğrusunu sırayla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[DE]$ çaplı (ve üçgenin düzleminde bulunan) çemberin herhangi bir $F$ noktasından $BC,CA,AB$ doğrularına indirilen dikmelerin ayakları sırayla $K,L,M$ ise, $\vert KL\vert =|KM|$ olduğunu ispatlayınız.

$A$, boş olmayan sonlu bir tamsayı kümesi ise, $A$'ya ait elemanları toplamını $t(A)$ ile gösterelim ve $t(\phi )=0$ olarak tanımlayalım. Pozitif tamsayılardan oluşan öyle bir $X$ kümesi bulunuz ki, her $k$ tamsayısı için, $A_{k}$ ve $B_{k}$, $X$'in sonlu altkümeleri olmak üzere, $A_{k}\cap B_{k}=\phi $ ve $ t(A_{k})-t(B_{k})=k$ koşullarını sağlayan tek bir $(A_{k},B_{k})$ sıralı ikilisi bulunsun.

$\mathbb{N}$ ile pozitif tamsayılar kümesini gösterelim. Her $m,n \in \mathbb{N}$ için $$m\vert n \Longleftrightarrow f(m)\vert f(n)$$ koşulunu sağlayan ve örten olan tüm $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ fonksiyonlarını bulunuz.