Tübitak Kamp Sınavları - 2012 - Ortaokul Kış Çözümleri
1
$A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ noktaları $A B C$ üçgeninin sırası ile $[\mathrm{BC}],[\mathrm{CA}]$ ve $[\mathrm{AB}]$ kenarları üzerinde olmak üzere $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C$ ' doğruları üçgenin içinde bir M noktasında kesişmektedir. $\frac{|M A|}{\left|M A^{\prime}\right|} \cdot \frac{|M B|}{\left|M B^{\prime}\right|} \cdot \frac{|M C|}{\left|M C^{\prime}\right|}=2011$ eşitliği sağlanıyorsa, $\frac{|M A|}{\left|M A^{\prime}\right|}+\frac{|M B|}{\left|M B^{\prime}\right|}+\frac{|M C|}{\left|M C^{\prime}\right|}$ toplaminı bulunuz.
2
$a>0, b>0$ ve $a+b=a\cdot b$ ise $S=\frac{a}{b^{2}+4}+\frac{b}{a^{2}+4}$ ifadesinin alabileceği en küçük değerin $1 / 2$ olduğunu gösteriniz.
3
$000, 001, \ldots , 999$ sayıları ile numaralandırılmış $1000$ top ve $00$, $01$, $\ldots$, $99$ sayıları ile numaralandırılmış $100$ kutu vardır. Eğer bir topun numarasının bir basamağı silinip $ab$ sayısı elde edilebiliyorsa, o top $ab$ numaralı kutuya yerleştirilebilir. Buna göre, tüm toplar $50$ kutuya yerleștirilebilir mi?
4
$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x)=x^{3}+(2 a+1) x^{2}+\left(2 a^{2}+2 a-3\right) x+2$ polinomunun en az bir kökünün rasyonel olmadığını gösteriniz.
5
$k \geq 2 \in \mathbb{Z}^{+}$olmak üzere, $x^{3}+k y^{2}$ ve $y^{3}+k x^{2}$ sayılarının her ikisini birden tam küp yapan $(x,y)$ pozitif tam sayı ikililerine güzel ikili diyelim. En az bir güzel ikilinin bulunmasını sağlayan en küçük $k$ pozitif tam sayısını bulunuz.
Çözüm:
$k=7$ için $(x,y)=(1,1)$ güzel ikilidir. $k\leq 6$ için güzel ikili olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. $(x,y)$ güzel ikilisi olsun. İlk durum olarak $x^3+ky^2=(x+1)^3$'i inceleyelim. $$x^3+ky^2=(x+1)^3\implies ky^2=3x^2+3x+1$$ olur. $x^2+x$ çift sayı olduğundan $3x^2+3x+1$ tek sayıdır. Yani $k$ da tektir. Ayrıca $3\not\mid k$'dır çünkü $3\not\mid 3x^2+3x+1$ olacaktır. Tek olası durum $k=5$'dir. Ancak bu durumda $$5y^2\equiv 3x^2+3x+1\equiv 1\pmod{3}\implies y^2\equiv 2\pmod{3}$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $$x^3+ky^2\geq (x+2)^3\implies ky^2\geq 6x^2+12x+8$$ olacaktır. Benzer şekilde $$y^3+kx^2\geq (y+2)^3\implies kx^2\geq 6y^2+12y+8$$ olacaktır. Bu iki eşitsizliği toplarsak, $$k(x^2+y^2)\geq 6(x^2+y^2)+12(x+y)+16\implies k>6$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $k\leq 6$ için güzel ikili yoktur. Güzel ikili bulunmasını sağlayan $\boxed{\min k=7}$'dir.