$f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlasın.

  $(i)$ $f(0)=1/2$

  $(ii)$ $\exists a \in \mathbb R : \forall x,y \in \mathbb R$ için
$$f(x+y)=f(x).f(a-y) + f(y).f(a-x)$$
$f$ fonksiyonunun sabit olduğunu gösteriniz.

$p$ asal sayı, $n$ pozitif tam sayı olmak üzere, $q \mid (n+1)^p-n^p$ ise $p \mid q-1$ olduğunu gösteriniz.

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin çevrel çemberi üzerinde $M$ noktası alınıyor. $M$ noktasından $AB,BC,CD$ ve $DA$ kenarlarına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $R,P,T,Q$ olsun. $PR \perp QT$ olduğunu ve bu doğruların kesişim noktasının $ABCD$'nin bir köşegeni üzerinde olduğunu gösteriniz.

$x,y,z >0$ ise
$$\dfrac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1} + \dfrac{(y+1)(z+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1} + \dfrac{(z+1)(x+1)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1} \geq x+y+z+3$$
olduğunu gösteriniz.

$n$ köşeli bir çizgeye herhangi yeni bir kenar eklendiğinde;

a) yeni bir üçgen oluşuyorsa bu çizgede en az kaç kenar olabilir?

b) yeni bir $K_4$ oluşuyorsa bu çizgede en az kaç kenar olabilir?($K_4$, $4$ köşeli tam çizgedir.)