2
Küçük Ayşe bildiği tüm pozitif reel sayıları sıra ile tahtaya yazıyor (aynı sayı birkaç kez yazılabiliyor). Bundan sonra ablası Aslı, Ayşe'nin yazmış olduğu her sayının altına, bu sayı hariç, geriye kalan tüm sayıların aritmetik ortalamasını yazıyor ve Ayşe'nin yazmış olduğu sayıları siliyor. Aslı, daha sonra tahtadaki yeni sayılar üzerinde de aynı işlemi yapıyor ve bu işi birkaç kez tekrarlıyor. Birazdan Aslı, tahtadaki sayıların Ayşe'nin ilk başta yazmış olduğu sayılarla aynı olduğunu fark ediyor. Ayşe'nin kaç pozitif reel sayı bildiğini belirleyiniz.
3
$x$ ve $y$ pozitif tam sayıları için
$$\left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right) +\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right)$$
ifadesi bir tam sayı olsun. Bu takdirde $x$ ve $y$'nin OBEB'inin $\sqrt{x+y}$ sayısından büyük olamayacağını gösteriniz.
Çözüm:
Öncelikle $\text{ebob}(x,y)=d$ diyelim ve $x=ad$, $y=bd$ olacak şekilde $\text{ebob}(a,b)=1$ pozitif tamsayıları alalım. İspatlamaya çalıştığımız eşitsizlik $$\sqrt{x+y}\geq \text{ebob}(x,y)\iff a+b\geq d$$ olacaktır. Tamsayı olduğunu bildiğimiz ifade ise $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$ olacaktır. Payda eşitlersek, $$\frac{a^2d+b^2d+a+b}{abd}\in \mathbb{Z}\implies d\mid a+b$$ elde edilir. Buradan da $d\leq a+b$ elde edilir.
4
Dışbükey (konveks) $ABCD$ dörtgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $E$ ve $F$ noktaları alınmıştır. ($E$, $B$ ile $F$ arasındadır). $m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{CDF})$ ve $m(\widehat{EAF}) = m(\widehat{FDE})$ olduğuna göre $m(\widehat{FAC}) = m(\widehat{EDB})$ olduğunu gösteriniz.
5
Ahmet herhangi iki $a,b \in \mathbb Z$ sayılarını alarak $f(x)=x^2+ax+b$ fonksiyonunu oluşturuyor. Betül de $c,d \in \mathbb Z$ sayılarını alarak $g(x)=2x^2+cx+d$ fonksiyonunu oluşturuyor. Ahmet'in seçimi ne olursa olsun, Betül $c$ ve $d$ tam sayılarını öyle seçebilir ki, $f(\mathbb Z)$ ve $g(\mathbb Z)$ kümelerinin kesişimi boş küme olur. Kanıtlayınız.
(Burada, $f(\mathbb Z)$ ile tam sayılar kümesinin $f$ altındaki görüntü kümesi gösterilmektedir.)
Çözüm:
Eğer Ahmet $a$ sayısını tek seçerse, $$f(x)\equiv x^2+ax+b\equiv x^2+x+b\equiv b\pmod{2}$$ olacağından Betül $c=2$ ve $d=b+1$ seçerek $$g(x)\equiv 2x^2+cx+d\equiv b+1\pmod{2}$$ yapabilir. Böylece $f(\mathbb{Z})$ ve $g(\mathbb{Z})$'den birisi sadece tek sayıları içerirken, diğeri sadece çift sayıları içerir. Böylece $f(\mathbb{Z})\cap g(\mathbb{Z})=\emptyset$ garantilenmiş olur.
Eğer Ahmet $a$'yı çift seçerse ($=2a_0$), bu durumda $$f(x)=x^2+2a_0x+a_0^2+(b-a_0^2)=(x+a_0)^2+b-a_0^2$$ olur. $f_1(x)=x^2+b-a_0^2$ için $f$ ve $f_1$ birbirinin ötelenmiş hali olduğundan $f(\mathbb{Z})=f_1(\mathbb{Z})$ olur. Bu yüzden genelliği bozmadan Ahmet'in $a=0$ seçtiğini düşünebiliriz. Bu durumda $$f(x)\equiv x^2+b\equiv b, b+1\pmod{4}$$ bulunur. Eğer Betül $c=2$ ve $d=b+2$ seçerse, $$g(x)\equiv 2(x^2+x)+b+2\equiv b+2\pmod{4}$$ elde ederiz. Bu durumda $f(\mathbb{Z})$ ile $g(\mathbb{Z})$ ayrık olacaktır. Dolayısıyla her durumda Betül, istenilen koşula uygun $c,d$ seçebilir.