Aksini varsayalım, $$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\in\mathbb{Q}$$ olsun. Bu durumda $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}=\frac{p}{q}$ olacak şekilde aralarında asal $p$ ve $q$ pozitif tamsayıları vardır çünkü $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{2}>0$'dır. Her tarafın karesini alarak başlayalım, $$2n+2\sqrt{n^2-1}=\frac{p^2}{q^2}\implies \left(\frac{p^2}{q^2}-2n\right)^2=4n^2-4$$ $$\frac{p^4}{q^4}-\frac{4np^2}{q^2}+4n^2=4n^2-4\implies \frac{p^4}{q^4}-\frac{4np^2}{q^2}+4=0$$ $$\implies p^4-4np^2q^2+4q^4=0$$ elde edilir. Sağ taraf $q$'ya bölündüğünden $q\mid p^4$ bulunur. Ancak $(p,q)=1$ olduğundan $q=1$ olmalıdır. Buradan da $$p^4-4np^2+4=0$$ elde edilir. Sağ taraf $p^2$'ye bölündüğünden sol taraf ta bölünür. Buradan $p^2\mid 4$ olacağından $p\mid 2$ ve $p=1$ veya $2$ bulunur.
$p=1$ ise sol taraf tek, sağ taraf çift olacağından çözüm gelmez.
$p=2$ ise $n=\frac{5}{4}$ bulunur ancak $n\in \mathbb{Z}$ olması gerekiyordu. Dolayısıyla $p\in \mathbb{Z}$ olamaz. Buradan da $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ ifadesinin tamsayı olamayacağını görürüz.
