Bu soru test sorusu olsaydı sorunun soruluşundan cevabın veya cevaplardan birinin $1$ olduğunu kolayca anlayabilirdik. Çözümü tasarlamak için bunu fark etmek önemli.
$n\geq 3$ için Ayşe'nin bildiği sayılar $a_1,a_2,\dots,a_n$ olsun ($1$ tane sayı yazılmışsa Aslı'nın yaptığı hamle mantıksız olacaktır, $n=2$ ise sonradan incelenecektir). Bu sayıların toplamı ise $S$ olsun. Aslı'nın her hamlesinde $(a_1,a_2,\dots, a_n)$ dizisi $$\left(\frac{S-a_1}{n-1},\frac{S-a_2}{n-1},\dots,\frac{S-a_n}{n-1}\right)$$ dizisine dönüşüyor. Eğer yeni dizinin toplamına bakarsak, $\frac{nS-(a_1+a_2+\cdots+a_n)}{n-1}=S$ olduğundan $S$ sabittir. $k.$ hamlede elde edilen diziyi $(a_1^{(k)},a_2^{(k)},\dots, a_n^{(k)})$ ile gösterelim. Şimdi $M_k=\max\limits_{i=1,2,\dots,n}\lvert S-na_i^{(k)}\rvert$ olarak tanımlayalım. Herhangi bir $i=1,2,\dots,n$ için $$\left\lvert a_i^{(k+1)}-\frac{S}{n}\right\rvert\leq \frac{M_k}{n(n-1)}\text{ veya denk olarak } M_{k+1}\leq \frac{M_k}{n-1}$$ olduğunu iddia ediyoruz. Düzenlersek, $$\left\lvert\frac{S-a_i^{(k)}}{n-1}-\frac{S}{n}\right\rvert\leq \frac{M_k}{n(n-1)} \iff \lvert nS-na_i^{(k)}-Sn+S\rvert=\lvert S-na_i^{(k)}\rvert\leq M_k$$ olur ki bu da doğrudur. Birkaç hamle sonra sayılar eski haline geldiğinden $M_0=M_N$ olacak şekilde bir $N\geq 1$ olmalıdır. Ancak bariz şekilde $M_0\neq 0$ ise $$0<M_N\leq \frac{M_{N-1}}{2}<M_{N-1}<\dots<M_0$$ elde edilir. Dolayısıyla $M_0=0$ ve her $i$ için $S=na_i$ olmalıdır. Buradan da tüm sayıların eşit olduğu sonucu çıkar. Yani Ayşe $1$ tane pozitif reel sayı biliyordur.
$n=2$ ise Ayşe $(a,b)$ yazmış olsun. Aslı, ilk hamlede $(b,a)$ yazacağından aynı sayıları yazmış olacaktır. Bu yüzden Ayşe iki tane pozitif reel sayı biliyor da olabilir.
Not: Fark edebileceğiniz gibi $n\geq 3$'teki çelişkinin $n\geq 2$'de çalışmama nedeni $M_{k+1}\leq \frac{M_k}{n-1}=M_k$ elde edecek olmamız. Aradaki eşitlik durumundan kurtulamıyoruz.
