Ondalık gösterimdeki bütün rakamları aynı olan ve $k \in \mathbb N$ olmak üzere $1+1999k$ biçiminde yazılabilen sonsuz çoklukta doğal sayı bulunduğunu gösteriniz.

$m^2+(m+1)^2=n^4+(n+1)^4$ eşitliğini sağlayan $m$ ve $n$ pozitif tam sayılarının bulunmadığını gösteriniz.

$a,b,c$ ve $d$ herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere,
$$\dfrac{1}{a+b+c+d} \leq \dfrac{1}{64} \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{4}{c} + \dfrac{16}{d} \right)$$
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

Birinci terimi $2$ olan ve ikinci teriminden itibaren her bir terimi bir önceki terimin rakamlarının beşinci kuvvetlerinin toplamına eşit olan (yani, ikinci terim $=2^5=32$; üçüncü terim $=3^5+2^5=275$,...) doğal sayı dizisinde birbirine eşit en az iki terim bulunduğunu kanıtlayınız.

Merkezi $O$ ile gösterilen bir çember içinde bir $C$ noktası alınıyor ve $OC$ doğrusuna paralel olan herhangi bir $[AB]$ kirişi çiziliyor. $|AC|^2+|BC|^2$ toplamının, $[AB]$ kirişinin seçiminden bağımsız olduğunu ispatlayınız.