Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

Altı basamaklı $x=abcabc$ ve dört basamaklı $y=d00d$ sayıları için$,\ \sqrt{x+y}$ tam sayı olacak biçimde kaç tane $(x,y)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11$

$ABCD$ yamuğunda $BC//AD,\ |BC|=2,\ |AD|=7,\ |AC|=5$ ve $|BD|=6$ 'dır. Yamuğun alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt{10} \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 7\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 5\sqrt{10} \qquad\textbf{e)}\ 10\sqrt2$

$n=1 \cdot 10^{10} + 2 \cdot 10^{10^2} + 3 \cdot 10^{10^3} + \cdots + 9 \cdot 10^{10^9} + 10 \cdot 10^{10^{10}}$ sayısının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

$a_1=2$ ve $a_2,a_3,...a_9,a_{10}$ sayıları $\{0,1\}$ kümesinin elemanları olmak üzere$,\ a_1a_2...a_9a_{10}$ on basamaklı sayılarını düşünelim. Bu sayıların kaç tanesi için$,$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}$

eşitliği sağlanır?

$\textbf{a)}\ 68 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 88 \qquad\textbf{e)}\ 96$

$\dfrac{x}{y}+4 \dfrac{y}{x}=2$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ değerleri için$,\ \dfrac{x^3}{y^3}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ -8 \qquad\textbf{c)}\ 64 \qquad\textbf{d)}\ -64 \qquad\textbf{e)}\ 27$

$f(x)=\dfrac{1}{4^x+2}$ fonksiyonu verilsin. $1111$ 'den küçük ve $1111$ ile aralarında asal olan pozitif $k$ tam sayıları için$,$

$a_k=f \left( \dfrac{k}{1111} \right) + f \left( \dfrac{1111-k}{1111} \right)$

sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 500 \qquad\textbf{b)}\ 800 \qquad\textbf{c)}\ 600 \qquad\textbf{d)}\ 400 \qquad\textbf{e)}\ 1000$

$ABCD$ yamuğunun $AD$ tabanı üzerinde bir $K$ noktası alınsın. $BK$ ve $AC$ doğrularının kesişim noktası $G$ olmak üzere$,\ RG$ doğrusu ile $AD$ 'nin kesişim noktasına $F$ diyelim. $\dfrac{|AF|}{|FD|}=\dfrac{4}{11}$ ise $\dfrac{|FK|}{|AF|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{11} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{11} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{11} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{6}{11} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{7}{11}$

$A=2^{1001}+3^{1001}+4^{1001}+ \cdots + 2000^{1001}+2001^{1001}$ sayısının $77$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ 76$

Aralarındaki uzaklık $999\ km$ olan $A$ ve $B$ noktaları arasında$,$ bu noktalar dahil$,$ her $1\ km$'lik mesafede $A$'dan ve $B$'den olan uzaklığı gösteren tabelalar konmuştur. Böylece$,\ 1000$ tabela üzerinde aşağıdaki şekilde sayılar yazılmıştır :

$ \begin{array}{|l|l|} \hline 0 & 999 \\ \hline \end{array} ,\ \begin{array}{|l|l|} \hline 1 & 998 \\ \hline \end{array} ,\ \begin{array}{|l|l|} \hline 2 & 997 \\ \hline \end{array} ,...,\ \begin{array}{|l|l|} \hline 998 & 1 \\ \hline \end{array} ,\ \begin{array}{|l|l|} \hline 999 & 0 \\ \hline \end{array}$

Bu tabelaların kaç tanesinde yazılmış sayılarda sadece iki farklı rakam kullanılmıştır?
$\big($Örneğin$,\ \begin{array}{|l|l|} \hline 722 & 277 \\ \hline \end{array}$ tabelasında sadece iki rakam kullanılmıştır : $2$ ve $7$ $\big)$

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 30 \qquad\textbf{d)}\ 40 \qquad\textbf{e)}\ 50$

$10$ özdeş kalem$,\ 5$ farklı kutuya$,$ kutulardan en fazla ikisi boş kalacak biçimde$,$ kaç farklı şekilde paylaştırılabilir?

$\textbf{a)}\ 360 \qquad\textbf{b)}\ 546 \qquad\textbf{c)}\ 486 \qquad\textbf{d)}\ 780 \qquad\textbf{e)}\ 906$

$5 \times 7$ dikdörtgeni satranç tahtasında olduğu gibi$,\ 1 \times 1$ karelere (birim karelere) bölünmüştür. Bir veya birkaç birim kareden oluşan tüm dikdörtgenleri düşünelim. Bu dikdörtgenlerin alanlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2940 \qquad\textbf{b)}\ 2960 \qquad\textbf{c)}\ 2860 \qquad\textbf{d)}\ 2980 \qquad\textbf{e)}\ 2890$

Yazı tahtasında yazılmış bir sayı için$,$ her hamlede bu sayı silinip onun yerine karesi ya da iki katı yazılıyor. Başlangıçta$,$ tahtaya $1$ yazılmışsa $2^{111}$ sayısını elde etmek için en az kaç hamle yapmak gerekir?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

$(x+x^2+x^3)+\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \right)=28$ eşitliğini sağlayan $x$ reel sayısı için $(2x-3)^2$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$x + \dfrac{1}{x} = y$ diyelim. Bu durumda, $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ ve $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = y^3 - 3y$ olur. Bu ifadeleri $(x+x^2+x^3)+\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \right)=28$ denkleminde yazalım. $y^3 - 3y + y^2 - 2 + y = 28$ olup

$$ y^3 +y^2 -2y -30 = 0 $$

kübik denklemini elde ederiz. $y = 3$ için bu denklemin sağlandığı görülebilir. Polinom bölmesi ile bu denklemi $(y - 3)(y^2 + 4y + 10) = 0$ şeklinde yazabiliriz. $y^2 + 4y + 10 = 0$ denkleminin gerçel kökü yoktur. O halde yalnızca $y=3$ mümkündür. $x + \dfrac{1}{x} = 3$ eşitliğinden $x^2 - 3x = -1$ yazılır. $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 = 4(x^2 - 3x) + 9 = 4(-1) + 9 = 5$ bulunur.

$a>0\ ,\ b>0$ ve $c \in [0,7]$ için$,$

$(a+b) \left( \dfrac{1}{ca+b} + \dfrac{1}{cb+a} \right)$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac14 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac23 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac25$

$|x| <1$ için $1+x+x^2+x^3+ \cdots = \dfrac{1}{1-x}$ formülünden yararlanarak,

$2 \left( \dfrac12 \right) ^1+ 3 \left( \dfrac12 \right) ^3 + 4 \left( \dfrac12 \right) ^5 + 5 \left( \dfrac12 \right) ^7 + 6 \left( \dfrac12 \right) ^9 + 7 \left( \dfrac12 \right) ^{11} + \cdots$

sonsuz toplamını hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{9} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{13}{9} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{14}{9} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{16}{9} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{17}{9}$

Bir üçgenin kenarortaylarının uzunlukları $15,\ 18$ ve $21$ olsun. Bu üçgenin alanını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 70\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 72\sqrt{12} \qquad\textbf{c)}\ 70\sqrt6 \qquad\textbf{d)}\ 72\sqrt6 \qquad\textbf{e)}\ 70\sqrt2$

$n$ doğal sayısının kaç tane değeri için$,$

$\left\{ \begin{array}{lcr} x_1 + x_2 + \cdots +x_n & = & 9 \\ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} & = & 1 & \end{array}\right.$

denklem sisteminin pozitif reel sayılarda çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

$\mathbb Q$ rasyonel sayılar kümesi olmak üzere$,\ f : \mathbb Q \to \mathbb Q$ fonksiyonu$,$ her $x,y \in \mathbb Q$ için

$f(x+y)-10=f(x)+f(y)$ ve $f(1)=1$

eşitliklerini sağlasın. Buna göre$,\ f\left(\dfrac{10}{11}\right)$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

$x_1=10\sqrt5$ olmak üzere$,\ (x_n)$ dizisi

$x_n(x_{n+1}-x_n)=10$

bağıntısı ile tanımlansın. $x_{101}$ teriminin tamdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?

(Not : Bir reel sayının tamdeğeri$,$ o sayıyı aşmayan en büyük tam sayıdır.)

$\textbf{a)}\ 50 \qquad\textbf{b)}\ 55 \qquad\textbf{c)}\ 60 \qquad\textbf{d)}\ 65 \qquad\textbf{e)}\ 70$

Kenar uzunluğu $1$ olan düzgün beşgenin köşegenleri kesişerek$,$ bu beşgenin içinde küçük bir düzgün beşgen oluşturuyorlar. Küçük beşgenin kenar uzunluğuna $x$ denilirse$,\ (2x-3)^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2008 Çözümleri