2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$n=1 \cdot 10^{10} + 2 \cdot 10^{10^2} + 3 \cdot 10^{10^3} + \cdots + 9 \cdot 10^{10^9} + 10 \cdot 10^{10^{10}}$ sayısının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$
$\phi(7)=6$  ve her $a\geq 1$  için $10^a\equiv 4\pmod 6$  olduğundan
$$\sum_{k=1}^{10}{k\cdot 10^{10^{k}}}\equiv 10^{4}\left(1+2+\cdot+10\right)\equiv 3^4\cdot 55\equiv 3 \pmod 7$$
olmalıdır.