$2x^2 + y^2 + 7 = 2(x+1)(y+1)$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ gerçel sayı ikililerini belirleyiniz.

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere
$$ \dfrac{17m+43n}{m-n} $$
oranı bir tam sayıysa $(m,n)$ ikilisine özel ikili diyelim. $1,2,3, \dots, 2021 $ sayıları arasından herhangi ikisi özel ikili oluşturmayan en çok kaç sayı seçilebilir?

$|AB| < |BC|$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çember merkezi $O$, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$ ve $E$ olmak üzere, $OE$ doğrusu $BC$ yi $K$ de kesiyor. $OKB$ üçgeninin çevrel çemberinin $OD$ ile ikinci kesişim noktası $L$, $A$ dan $KL$ doğrusuna indirilen dikmenin ayağı $F$ olmak üzere $F$ noktasının $DE$ doğrusu üzerinde olduğunu gösteriniz.

Ormandaki her cücenin üç kavuğu vardır, her kavuğun üzerinde $1,2,\dots, 28$ sayılarından biri yazılıdır ve her cücenin kavuklarındaki üç sayı birbirinden farklıdır. Bir gün üç şenlik düzenleniyor ve her cüce birinci şenliğe üzerindeki sayı en küçük olan kavuğunu giyerek, ikinci şenliğe üzerindeki ortanca sayı olan kavuğunu giyerek, üçüncü şenliğe ise üzerindeki en büyük sayı en büyük olan kavuğunu katılıyor. Daha sonra şenliklerden en az ikisine üzerindeki sayıların aynı olduğu kavuklarla katılan bir cüce ikilisinin bulunmadığı fark ediliyor. Buna göre, cücelerin sayısı en çok kaçtır?