$a$ ve $n$ pozitif tam sayılar ve $p$ asal sayı olmak üzere$$2a^2+3a-44=3p^n$$denklemini sağlayan tüm $(a,n,p)$ üçlülerini bulunuz.

$x$, $y$, $z$ pozitif gerçel sayıları $xy+yz+zx=x^5+y^5+z^5$ eşitliğini sağlıyorsa $$x^2y+y^2z+z^2x\le3$$ olduğunu gösteriniz.

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin $BC$, $CA$ ve $AB$ kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ olsun. $A$ köşesine ait iç açıortayın $DE$ ve $DF$ yi kestiği noktalar $P$ ve $Q$ olsun. $DPQ$ üçgeninin çevrel çember merkezinin $[BC]$ nin orta noktası olduğunu gösteriniz.

Her biri renkli toplar içeren $27$ karton kutu ve $27$ plastik kutu bulunuyor. Aynı türden herhangi iki kutuda aynı renkte top bulunmuyor fakat farklı türden herhangi iki kutuda aynı renkte top bulunuyor. Her adımda, farklı türden kutularda bulunan aynı renkte iki top seçip bunları istediğimiz bir renge boyuyoruz. Başlangıç durumu nasıl olursa olsun, en fazla $n$ adım sonucunda her kutunun aynı renkte en az iki top içermesini sağlayabiliyorsak, $n$ en az kaç olabilir?