Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2015

Düzlemin sonlu sayıda noktasından oluşan bir $\mathcal{S}$ kümesindeki herhangi iki farklı $A$ ve $B$ noktaları alındığında; $|AC|=|BC|$ olacak şekilde, $\mathcal{S}$ nin elemanı olan bir $C$ noktası bulunabiliyorsa, $\mathcal{S}$ kümesine dengeli diyelim. $\mathcal{S}$ deki herhangi üç birbirinden farklı $A$, $B$ ve $C$ noktaları alındığında; $|PA|=|PB|=|PC|$ olacak şekilde, $\mathcal{S}$ nin elemanı olan bir $P$ noktası bulunamıyorsa, $\mathcal{S}$ kümesine merkezciksiz diyelim.

(a) Her $n\ge3$ tam sayısı için, $n$ noktadan oluşan dengeli bir küme bulunduğunu gösteriniz.

(b) Hangi $n\ge3$ tam sayıları için, $n$ noktadan oluşan dengeli ve merkezciksiz bir küme bulunabilir?

$a, b, c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$sayılarının her birinin $2$ nin tam kuvveti olmasını sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.

($n$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere, $2^n$ şeklindeki sayılara $2$ nin tam kuvveti deniyor.)

$|AB| > |AC|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ dar açılı üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$, diklik merkezi $H$, $A$ dan geçen yüksekliğin ayağı ise $F$ olsun. $[BC]$ nin orta noktasına $M$diyelim. $\Gamma$ çemberi üzerinde $\angle HQA = 90^\circ$ olacak şekilde bir $Q$ ve yine $\Gamma$ çemberi üzerinde $\angle HKQ=90^\circ$ olacak şekilde bir $K$ noktası alınıyor. $A, B, C, K$ ve $Q$ noktalarının birbirlerinden farklı oldukları ve $\Gamma$ üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor.

$KQH$ ve $FKM$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirlerine teğet olduklarını gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $O$ merkezli $\Omega$ çemberidir. $A$ merkezli bir $\Gamma$ çemberi $[BC]$ kenarını $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $B$, $D$, $E$ ve $C$ noktalarının birbirlerinden farklı oldukları ve $BC$ doğrusu üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor. $\Gamma$ ve $\Omega$ çemberlerinin kesişim noktaları $F$ ve $G$ olmak üzere $A, F, B, C$ ve $G$ noktalarının $\Omega$ üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor. $BDF$ üçgeninin çevrel çemberi $[AB]$ kenarını ikinci kez $K$ noktasında kesiyor. $CGE$ üçgeninin çevrel çemberi ise $[CA]$ kenarını ikinci kez $L$ noktasında kesiyor.

$FK$ ve $GL$ doğrularının farklı olduklarını ve bir $X$ noktasında kesiştiklerini varsayalım. Bu $X$ noktasının $AO$ doğrusu üzerinde bulunduğunu gösteriniz.

Gerçel sayılar kümesini $\mathbb R$ ile gösterelim. Tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$koşulunu sağlayan tüm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Tam sayılarından oluşan $a_1,a_2,\dots$ dizisi

(i) her $j\ge1$ için $1\le a_j\le2015$;

(ii) her $1\le k<l$ için $k+a_k \neq \ell+a_\ell$

koşullarını sağlıyor. $n>m\ge N$ koşulunu sağlayan tüm $m$ ve $n$ tam sayıları için $$\left\vert\sum_{j=m+1}^n (a_j-b)\right\vert\le1007^2$$olmasını sağlayan $b$ ve $N$ pozitif tam sayılarının bulunabileceğini kanıtlayınız.