Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 4

[Eray]

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $O$ merkezli $\Omega$ çemberidir. $A$ merkezli bir $\Gamma$ çemberi $[BC]$ kenarını $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $B$, $D$, $E$ ve $C$ noktalarının birbirlerinden farklı oldukları ve $BC$ doğrusu üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor. $\Gamma$ ve $\Omega$ çemberlerinin kesişim noktaları $F$ ve $G$ olmak üzere $A, F, B, C$ ve $G$ noktalarının $\Omega$ üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor. $BDF$ üçgeninin çevrel çemberi $[AB]$ kenarını ikinci kez $K$ noktasında kesiyor. $CGE$ üçgeninin çevrel çemberi ise $[CA]$ kenarını ikinci kez $L$ noktasında kesiyor.

$FK$ ve $GL$ doğrularının farklı olduklarını ve bir $X$ noktasında kesiştiklerini varsayalım. Bu $X$ noktasının $AO$ doğrusu üzerinde bulunduğunu gösteriniz.

[Buğra Doğan]

Yeni üye olduğumdan ''Yanıtla'' bölümünde matematiksel bazı işaretleri nasıl kullanacağımı bilmediğim için çözümü kağıda ayrıntılı şekilde yapıp bilgisayara yüklemeyi daha uygun buldum. Hatalarım yada eksiklerim olabilir. Bildirip düzeltirseniz sevinirim. Soruyu biraz uzun yollardan çözmüş olabilirim. Alternatif çözümlerinizi bekliyorum. Hayırlı günler.