$p$ ve $q$ toplamları $3$ ile bölünmeyen asallar, $r$ ve $n$ birer pozitif tam sayı olmak üzere,$$p + q = r (p − q)^n$$eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,r,n)$ dörtlülerini bulunuz.

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin $[AB]$ ve $[BC]$ kenarlarına sırasıyla $A$ ve $C$ noktalarında teğet olan bir çember, bu dörtgenin $[AD]$ ve $[CD]$ kenarlarını yeniden sırasıyla $D$ den farklı $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $AF$ ile $CE$ doğrularının kesişim noktası $G$ olmak üzere, $s(\widehat{ACB}) = s(\widehat{GDC}) + s(\widehat{ACE})$ ise $AD$ doğrusunun $AGB$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

Bir ülkedeki $2015$ kentten herhangi ikisi arasında tam olarak bir karşılıklı uçak seferi yapılmaktadır. Herhangi üç kent arasındaki direkt seferler üç farklı havayolu şirketi tarafından yapılıyorsa, bu ülkede en az kaç havayolu şirketi olabilir?

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2+2abc \le 1$ koşulunu sağlıyorsa,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(a+b+c)$$
olduğunu gösteriniz.

Bir $t$ gerçel sayısı için $at^2 +bt+c = 0$ olacak şekilde $1 ≤ |a|, |b|, |c| ≤ 10$ koşulunu sağlayan $a, b, c$ tam sayıları bulunabiliyorsa $t$ sayısına $\textit{10-karesel sayı}$ diyelim. Buna göre $\left(n-\dfrac{1}{3},n \right)$ ve $\left(n, n+\dfrac{1}{3} \right)$ aralıklarının en az birinde 10-karesel sayı bulunmamasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısını bulunuz.

Kenar uzunluğu $100$ birim olan bir karenin iç bölgesinde yer alan bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

$|m^k −n!| \le n$ eşitsizliğini sağlayan tüm $(m,n,k)$ pozitif tam sayı üçlüleri için $\dfrac{n}{m}$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

Düzlemde koordinatları $S = \{0, 1, . . . , 99\}$ kümesinde bulunan noktaların kırmızı ve beyaz renklere, her $ i, j ∈ S$ için $ (i, j),(i+1, j),(i, j+1)$ ve $(i+1, j+1)$ ($99+1 = 0$ kabul edilmektedir) noktalarından en az biri kırmızı olacak şekilde boyanmasına kırmızımsı boyama diyelim. Herhangi bir kırmızı noktası beyaza çevrildiğinde kırmızımsı olma özelliğini kaybeden bir boyamada en fazla kaç kırmızı nokta olabilir?