Balkan Matematik Olimpiyatı - 2014 Çözümleri

$x,y,z$ pozitif reel sayıları $xy+yz+zx=3xyz$ koşulunu sağlıyorsa \[x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \geq 2(x+y+z)-3 \] eşitsizliğini ispatlayınız.Eşitlik durumunu bulunuz.

Çözüm:

(Mehmet Utku Özbek)

$xy+yz+zx=3xyz \ \Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$ olur. Cauchy Schwarz uygulayalım.

$\Longrightarrow \left (\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x} \right )(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x) \ge \left (x+y+z \right )^2$

$\Longrightarrow x^2y+y^2z+z^2x \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$

Eğer $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \ge 2(x+y+z)-3$ ise ispat biter. Taraf tarafa çarpalım.

$\Longrightarrow (x+y+z)^2 \ge 6(x+y+z)-9$

$\Longrightarrow (x+y+z)^2-6(x+y+z)+9 \ge 0$

$\Longrightarrow (x+y+z-3)^2 \ge 0$

Son ulaştığımız ifade zaten doğrudur. İspat biter.

Bir $n$ pozitif tamsayısı için $n=\dfrac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}$ olacak şekilde $a,b,c,d$ pozitif tamsayıları bulunuyorsa $n$ ye $\textit{mutlu sayı}$ diyelim. Buna göre;

$\textbf{(a.)}$ $2014$ sayısının bir $\textit{mutlu sayı}$ olmadığını gösteriniz.

$\textbf{(b.)}$ Sonsuz çoklukta $\textit{mutlu sayı}$ olduğunu gösteriniz.

$ABCD$, köşeleri $AB$ çaplı $\Gamma$ çemberi üzerinde olan bir yamuk olsun. $E$ noktası, $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin kesişim noktası olsun. $B$ merkezli $BE$ yarıçaplı çember $\Gamma$ yı $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor ($K$, $AB$ ye göre $C$ ile aynı tarafta kalacak şekilde). $BD$ ye $E$ de dik olan doğru $CD$ yi $M$ de kesiyor. $KM$ nin $DL$ ye dik olduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı olsun. Kenar uzunluğu $n$ olan bir düzgün altıgen, kenarlarına paralel doğrularla kenar uzunluğu $1$ olan eşkenar üçgenlere bölünmüştür. Köşeleri, bu eşkenar üçgenlerin köşelerinden olan düzgün altıgenlerin sayısını bulunuz.