Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 2

[MATSEVER 27]

Bir $n$ pozitif tamsayısı için $n=\dfrac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}$ olacak şekilde $a,b,c,d$ pozitif tamsayıları bulunuyorsa $n$ ye $\textit{mutlu sayı}$ diyelim. Buna göre;

$\textbf{(a.)}$ $2014$ sayısının bir $\textit{mutlu sayı}$ olmadığını gösteriniz.

$\textbf{(b.)}$ Sonsuz çoklukta  $\textit{mutlu sayı}$ olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$a)$ $2014=\dfrac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}$ için $$2014(c^3+2d^3)\equiv a^3+2b^3 \equiv 0 \pmod {19}$$ olur. Düzenlersek, $$\left (\dfrac{a}{b}\right )^3\equiv -2 \pmod {19}$$ olur fakat hiçbir değer için $x^3\equiv -2 \pmod {19}$ olamaz. Dolayısıyla $2014$ mutlu bir sayı değildir.

$b)$ $a=3k+1$, $b=c=d=1$ için $n=9k^3+9k^2+3k+1$ olur. Yani sonsuz $n$ değeri vardır.