Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$x,y,z$ pozitif reel sayıları $xy+yz+zx=3xyz$ koşulunu sağlıyorsa \[x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \geq 2(x+y+z)-3 \] eşitsizliğini ispatlayınız.Eşitlik durumunu bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$xy+yz+zx=3xyz  \ \Rightarrow  \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$    olur. Cauchy Schwarz  uygulayalım.

$\Longrightarrow  \left (\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x} \right )(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x) \ge \left (x+y+z \right )^2$

$\Longrightarrow  x^2y+y^2z+z^2x \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$

Eğer $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \ge 2(x+y+z)-3$   ise ispat biter. Taraf tarafa çarpalım.

$\Longrightarrow (x+y+z)^2 \ge 6(x+y+z)-9$

$\Longrightarrow (x+y+z)^2-6(x+y+z)+9 \ge 0$

$\Longrightarrow (x+y+z-3)^2 \ge 0$

Son ulaştığımız ifade zaten doğrudur. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Homojenliği kullanacağız.

$xy+yz+zx=3xyz$ ise $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$ dir.

Verilen eşitsizlikte 3 yerine $\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x}}$ i yerleştirirsek

$$x^2y+\dfrac{1}{y}+y^2z+\dfrac{1}{z}+z^2x+\dfrac{1}{x}\overbrace{\geq}^{AGO} 2(x+y+z)\geq 2(x+y+z)$$
İspat biter.