Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1962

Aşağıdaki şartları sağlayan en küçük $n$ doğal sayısını bulunuz.

• Ondalık yazılımında son basamağı $6$ dır.
• Son basamağı silinip başa yazılırsa, oluşan sayı ilk baştaki $n$ sayısının dört katı oluyor.

$$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1} > \dfrac{1}{2}$$ eşitsizliğini sağlayan tüm $x$ gerçel sayılarını belirleyiniz.

$ABCDA'B'C'D'$ ($ABCD$ ve $A'B'C'D'$ sırasıyla üst ve alt tabanlar, $AA', BB', CC', DD'$ kenarları birbirlerine paralel) küpünü ele alalım. $X$ noktası sabit bir hızla $ABCD$ karesinin çevresinde $ABCDA$ yönünde hareket ediyor. $Y$ noktası da aynı hızla $B'C'CB$ karesinin çevresinde $B'C'CBB'$ yönünde hareket ediyor. $X$ ve $Y$ noktları, hareketlerine aynı anda sırasıyla $A$ ve $B'$ noktasında başlıyor. Buna göre, $XY$ doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini belirleyiniz ve çiziniz.

$\cos^{2}x + \cos^{2}2x + \cos^{2}3x = 1$ denklemini çözünüz.

$K$ çemberi üzerinde üç farklı nokta, $A,B,C$, veriliyor. $K$ üzerinde dördüncü bir $D$ noktasını, oluşan dörtgen teğetler dörtgeni olacak şekilde (sadece cetvel ve pergel kullanarak) oluşturun.

Çevrel çemberinin yarıçapı $r$, içteğet çemberinin yarıçapı $\rho$ olan bir ikizkenar üçgen veriliyor. Bu iki çemberin merkezleri arası uzaklık $d$ ise, $$d = \sqrt {r(r-2\rho)}$$ olduğunu gösteriniz.

Her biri $SA,SB,SC,BC,CA,AB$ doğrularına teğet olan beş kürenin bulunabildiği $SABC$ dörtyüzlüsü veriliyor.

• $SABC$ dörtyüzlüsünün düzgün olduğunu gösteriniz.
• Karşıt olarak, her düzgün dörtyüzlü için bu şekilde beş kürenin bulunabildiğini kanıtlayınız.