Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1962 Soru 6

[geo]

Çevrel çemberinin yarıçapı $r$, içteğet çemberinin yarıçapı $\rho$ olan bir ikizkenar üçgen veriliyor. Bu iki çemberin merkezleri arası uzaklık $d$ ise, $$d = \sqrt {r(r-2\rho)}$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$I$ iç merkez, $O$ çevrel merkez olsun. $\angle BAC = 2\alpha$ olsun. $AI$, çevrel çemberi $M$ de kessin.
$AI = \dfrac {\rho}{\sin \alpha }$ ve Sinüs Teoreminden $BM = 2r \cdot \sin \alpha$ olacaktır.

$\angle BIM = \angle BAM + \angle ABI = \angle MAC + \angle IBC = \angle CBM + \angle IBC = \angle IBM$ olduğu için $BM=MI=2r\cdot \sin \alpha$.
$I$ noktasının çevrel çembere göre kuvveti: $$AI \cdot MI = R^2 - OI^2$$ $$\dfrac {\rho}{\sin \alpha} \cdot 2r \cdot \sin \alpha = 2r\rho = R^2 - d^2 \Rightarrow d = \sqrt {r^2 - 2 r \rho} $$

Not:
Üçgenin ikizkenarlığını kullanmadık.
Ayrıca bu sorunun genel hali, 1767'de Euler tarafından sunulmuş.