Geomania.Org Forumları

$M$, $\triangle ABC$ nin $AB$ kenarı üzerinde bir nokta olsun. $r_1$, $r_2$ ve $r$ sırasıyla $AMC$, $BMC$ ve $ABC$ üçgenlerinin içteğet çemberlerinin yarıçapları olsun. $q_1$, $q_2$ ve $q$ da, sırasıyla aynı üçgenlerin $ACB$ açıları üzerinde yer alan dışteğet çemberlerinin yarıçapları olsun. $$\dfrac {r_1}{q_1}\cdot \dfrac {r_2}{q_2} = \dfrac {r}{p}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$a$, $b$ ve $n$ tam sayıları $1$ den büyük olup $a$ ve $b$ iki sayı sisteminin tabanlarıdır. $a$ tabanındaki $A_{n-1}$ ve $A_n$ sayıları ile, $b$ tabanındaki $B_{n-1}$ ve $B_n$ sayıları arasında $$\begin{array}{rclcl}
A_n &=& x_nx_{n-1}\dots x_0, \quad A_{n-1} &=& x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0, \\
B_n &=& x_nx_{n-1}\dots x_0, \quad B_{n-1} &=& x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0, \\
x_n &\neq& 0, \quad x_{n-1} \neq 0.
\end{array}$$ bağıntısı vardır. $$ \dfrac{A_{n-1}}{A_n} < \dfrac{B_{n-1}}{B_n} \Leftrightarrow a>b $$ olduğunu gösteriniz.

$a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$ gerçel sayıları arasında $$1 = a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n \leq \dots$$ bağıntısı vardır. $b_1, b_2, \dots, b_n, \cdots$ sayıları $$b_n = \sum\limits_{k=1}^n \left(1-\dfrac {a_{k-1}}{a_k}\right)\dfrac{1}{\sqrt {a_k}} $$ şeklinde tanımlanıyor.

• Her $n$ için $0 \leq b_n < 2$ eşitsizliğin sağlandığını gösteriniz.
• $0\leq c < 2$ şartını sağlayan bir $c$ sayısı verildiğinde, $b_n > c$ şartını sağlayan yeterince büyük $n$ ler için, yukarıdaki özellikleri sağlayana $a_0, a_1, \dots$ sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

$\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}$ kümesinin birideki elemanların çarpımının, diğerindeki elemanların çarpına eşit olacak şekilde iki parçaya ayrılmasını mümkün kılan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$ABCD$ dörtyüzlüsünde $BDC$ açısı dik açıdır. $D$ den $ABC$ düzlemine inilen dikmenin ayağı olan $H$, aynı zamanda $\triangle ABC$ nin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. $$(AB+BC+CA)^2 \leq 6(AD^2+BD^2+CD^2)$$ olduğunu kanıtlayınız. Eşitlik hangi dörtyüzlü için geçerlidir?

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan $100$ nokta veriliyor. Bu noktaları köşe kabul eden tüm üçgenleri ele alalım. Bu üçgenlerin $\%70$ inden daha fazlasının dar açılı olamayacağını gösteriniz.