IA yarıçaplı çember

[geo]

$ABC$ üçgeninde iç açıortayların kesişim noktası $I$ olup $I$ merkezli $A$ dan geçen çember $BC$ doğrusunu $D$ ve $E$ de kesiyor. $BC+DE = AB+AC$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki şekli göz önüne alalım. $I$ merkezli iç teğet çember, $ABC$ üçgeninin kenarlarına $H, G, F$ noktalarında teğet olsun. İç teğet çemberin yarıçaplarından $|IH| = |IF| = |IG|$ ve $I$ merkezli diğer çemberin yarıçaplarından $|IA| = |ID| = |IE|$ dir. $AFI, DHI, EHI, AIG$ dik üçgenlerinde Pisagor teoreminden dolayı $|AF| = |DH| = |EH| = |AG|$ olur. Diğer bir deyişle, bu dört dik üçgen eştir.

$ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $a,b,c$ ve yarıçevre $s$ olmak üzere $|AG| = |AF| = s-a$ özelliği iyi bilinmektedir. Böylece $|DE| = 2|DH| = 2(s-a) = b+c - a$ olur. Bu eşitlikten, $|BC| + |DE| = |AB| + |AC|$ bulunur.