Tübitak Lise Takım Seçme 1993 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$AB$ çaplı, $O$ merkezli yarım çemberin $OE \perp AB$ olmak üzere çizilen $OE$ yarıçapı bir $AC$ kirişini yarı çemberin iç bölgesinde $D$ noktasında kesmektedir.$OBCD$ dörtgeninin teğetler dörtgeni olabilmesi için $\widehat{CAB}$ açısının alabileceği bütün değerleri belirleyiniz.

[geo]

$DCBO$ teğetler dörtgeninin çemberi, üçgeninin içteğet çemberidir.

$AB=c,\ BC=a,\ AC=b$ ve $u=\dfrac{a+b+c}{2}$ dersek, içteğet çember $AB$ ye $T$ de dokunuyorsa $OT=r=u-c$ ve $BT=u-b$ elde edilir. $OT+TB=2u-b-c=a=\dfrac{c}{2}$ olduğundan ${\sin \dfrac{\angle CAB}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \angle CAB={30}^{\circ }}$olur.