Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

$0\leqslant a< 2^{2008}$ ve $0\leqslant b< 8$ tam sayıları $7\left ( a+2^{2008}b \right )\equiv 1  \pmod{2^{2011}}$ denkliğini sağlıyorsa, $b$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$7(a+2^{2008}b) \equiv 7a + 8\cdot 2^{2008}\cdot b - b\cdot 2^{2008} \equiv 1 \pmod {2^{2011}}$

$\Rightarrow 7a \equiv b\cdot 2^{2008} + 1  \pmod {2^{2011}}$

$0\leq a < 2^{2008} \Rightarrow 7a< 7 \cdot 2^{2008} < 2^{2011}$ ve $b\cdot 2^{2008} \leq 7 \cdot 2^{2008} < 2^{2011} $ olduğu için $7a = b\cdot 2^{2008} + 1$. Her iki tarafı $\bmod 7$ de incelersek $0 \equiv 2b + 1 \pmod 7 \Rightarrow b \equiv 3 \pmod 7$ olacaktır. O halde $b=3$ olabilir. $b=3$ iken $a<2^{2008}$ olacağı için $b=3$ verilen şartları sağlar.