Köklü sayılar arasındaki ilişkileri insan gözüyle görmesi zor. ChatGPT 5 Thinking modelinin ürettiği çözümü paylaşıyorum.
Problem: $\log_{x}(2+\sqrt{3})=\log_{x+6}(1+2\sqrt{3})$ için $x$ gerçel sayısını bulunuz.
Çözüm: Logaritma özelliklerinden $\displaystyle \log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$. Eşitlik
\[
\frac{\ln(2+\sqrt{3})}{\ln x}=\frac{\ln(1+2\sqrt{3})}{\ln(x+6)}
\]
şeklindedir. Dikkat çekici özdeşlik:
\[
(1+2\sqrt{3})^2=(13+4\sqrt{3})=(7+4\sqrt{3})+6=(2+\sqrt{3})^2+6.
\]
Bu nedenle
\[
x=(2+\sqrt{3})^2\quad\Longrightarrow\quad x+6=(1+2\sqrt{3})^2.
\]
Böylece
\[
\log_{x}(2+\sqrt{3})=\frac{\ln(2+\sqrt{3})}{\ln\big((2+\sqrt{3})^2\big)}=\frac{1}{2}
=\frac{\ln(1+2\sqrt{3})}{\ln\big((1+2\sqrt{3})^2\big)}=\log_{x+6}(1+2\sqrt{3}).
\]
Dolayısıyla $x= (2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$ bir çözümdür.
Teklik İspatı: Eşitlik $\ln(x+6)=r\,\ln x$ ile eşdeğerdir; burada
$\displaystyle r=\frac{\ln(1+2\sqrt{3})}{\ln(2+\sqrt{3})}>1$. Bu da
\[
x^{\,r}=x+6
\]
biçimindedir. $x>0$ için $f(x)=x^{r}-x-6$ fonksiyonu konvekstir ($r>1$ olduğundan $f''(x)>0$) ve
$f(0^+)=-6<0$, $f(x)\to\infty$ ( $x\to\infty$ ). Dolayısıyla tek kök vardır.
Bulduğumuz $x=7+4\sqrt{3}$ bu tek köktür.
