Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 15

[geo]

Dört $0$, beş $1$, ve bir $2$ kullanarak on basamaklı kaç farklı tam sayı yazılabilir?

$
\textbf{a)}\ 1260
\qquad\textbf{b)}\ 1134
\qquad\textbf{c)}\ 756
\qquad\textbf{d)}\ 630
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[taftazani44]

Yanıt: $\boxed C$

İlk basamağa $0$ lar hariç $6$ sayı yazılır. Tekrarlı permütasyondan $\dfrac {6 \cdot 9!}{4!\cdot 5!} = 756$ elde edilir.

[geo]

$2$ nin başta olduğu $\dfrac {9!}{5! \cdot 4!}$, $1$ lerden birinin başta olduğu $\dfrac {9!}{4! \cdot 4!}$ sayı yazılabilir.
Toplarsak $\dfrac {9!}{4! \cdot 4! } \left ( \dfrac {1}{5} + 1 \right ) = \dfrac {9!}{4!} \cdot \dfrac {6}{5} = 756$ elde ederiz.

[geo]

Tekrarlı permütasyondan hiçbir şartsız $\dfrac {10!}{5!\cdot 4!}$ sayı yazılabilir.
$0$ nın başta olduğu $\dfrac {9!}{3!\cdot 4!}$ sayı yazılabilir.

Aradığımız yanıt $\dfrac {10!}{5! \cdot 4!} - \dfrac {9!}{3!\cdot 5!} = \dfrac {9!}{3! \cdot 5!} \left ( \dfrac {10}{4} - 1 \right ) = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \dfrac 32 = 756$ dır.

[Lokman Gökçe]

Tüm durumların $\dfrac{4}{10}$'u $0$ ile başlar. $\dfrac{6}{10}$'u diğer rakamlarla başlar. Böylece istenen durumların sayısı, tüm durumların $\dfrac{6}{10}$'u olur. Tekrarlı permütasyon ile
$$\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{10!}{4!\cdot 5!} = 756$$ bulunur.