Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 08

[geo]

$x^4+3x^3+5x^2+21x-14=0$ denkleminin gerçel köklerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ -2
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ -14
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$(x^4 + 5x^2 - 14) + (3x^3+21x) = (x^2+7)(x^2-2) + 3x(x^2+7) = (x^2+7)(x^2+3x-2)$

$x^2+7$ den gerçel kök gelmeyeceği için gerçel köklerin çarpımı $-2$ dir.

[Lokman Gökçe]

Verilen denklemdeki $21$ ve $-14$ katsayıları bize bir ipucu vermektedir. Her ikisi de $7$'nin katıdır.
$x^4 +3x^3 - 2x^2 + 7(x^2 + 3x - 2) = x^2(x^2 + 3x - 2) + 7(x^2 + 3x - 2) = (x^2 + 3x - 2)(x^2 + 7) = 0$ olur.
$x^2 + 7 = 0$ denkleminin gerçel kökü yoktur. $x^2 + 3x - 2=0$ denklemi için diskriminant $\Delta = 13>0$ olup gerçel köklere sahiptir. Vieta formülü ile, kökler çarpımı $-2$ elde edilir.