Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 16

[alpercay]

$16$ beyaz ve $4$ kırmızı top her biri $5$ top alabilen $4$ kutuya rastgele dağıtılıyor. Her kutuda tam olarak $1$ kırmızı top olma olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{5}{64}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{8}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{4^4}{\binom{16}{4}}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5^4}{\binom{20}{4}}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{32}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$20$ top $4$ kutuya $5$'erli $\binom{20}{5}\cdot \binom{15}{5}\cdot \binom {10}{5}\cdot\binom{5}{5} = \dfrac {20!}{(5!)^4}$ şekilde dağıtılır.

Her kutuya $1$ kırmızı top, $\binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{2}{1} \cdot \binom{1}{1} = 4!$ şekilde,
geri kalan $16$ beyaz top, $\binom{16}{4} \cdot \binom{12}{4} \cdot \binom{8}{4} \cdot \binom{4}{4} = \dfrac {16!}{(4!)^4}$ şekilde dağıtılır.
Düzenlersek, $ \dfrac{\frac {16!\cdot 4!} {(4!)^4}}{\frac {20!}{(5!)^4}}= \dfrac {5^4}{\binom{20}{4}}$ olur.

[Lokman Gökçe]

Olasılık soruları ile ilgili bilinmesi gereken çok önemli ve temel bir husus şudur: Olasılıkta özdeş nesne yoktur! Bu problem de, bu temel gerçeği kavratıcı bir özelliğe sahip olması bakımından dikkate değerdir.