Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

$\left | AB \right |=5,\left | BC \right |=6$ ve $\left | CA \right |=7$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine ait açıortayı $\left [ BC \right ]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $A$ dan geçen ve $BC$ ye $D$ de teğet olan çember ise, $\left [ AB \right ]$ ve $\left [ AC \right ]$ kenarlarını sırasıyla $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor. $AD$ ve $PQ$ doğruları $T$ noktasında kesişiyorsa, $\left | AT \right |/\left | TD \right |$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{7}{5}
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{7}{2}
\qquad\textbf{e)}\ 4
$ 

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$\angle BAD= \angle DAC = \angle PQD = \angle QPD = \angle QDC = \angle PDB$ olduğu için, $PQ \parallel BC$. Bu durumda $AT/TD = AQ/QC$ dir.

Açıortay teoreminden $CD = BC \cdot \dfrac 7{12} = \dfrac 72$.
$C$ noktasının $(ADQ)$ çemberine göre kuvvetinden, $CQ \cdot AC = CD^2 \Rightarrow QC = \dfrac 74$ ve $AQ=\dfrac{21}{4}$. Bu durumda, $AT/TD=AQ/QC=3$ tür.