Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2022

$5^{4 \cdot 19} + 5^{3 \cdot 19} + 5^{2 \cdot 19} + 5^{19}$ sayısının $5^{20}+1$ sayısına bölümünden kalan $m \cdot 5^{n}$ biçimindeyse $m+n$ en az kaçtır? (Burada, $m$ ve $n$ pozitif tam sayılardır.)

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 120  \qquad\textbf{c)}\ 119  \qquad\textbf{d)}\ 129  \qquad\textbf{e)}\ 191$

                   $\left\{ \begin{array}{lcr}  x^2+x\sqrt[3]{xy^2}=18 \\ y^2+y\sqrt[3]{yx^2}=50 \end{array}\right.$

olduğuna göre, $x^2+y^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 38  \qquad\textbf{b)}\ 41  \qquad\textbf{c)}\ 34  \qquad\textbf{d)}\ 43  \qquad\textbf{e)}\ 44$

$K=1^n+2^n+3^n+4^n$ toplamının $10$ ile tam bölünmesini sağlayan, $2023$'ten küçük $n$ pozitif tam sayılarının sayısı $M$ ise $M$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 10$

$a_k=\dfrac{k}{81}$ olmak üzere,
$$S=\dfrac{a_1^2}{1+2a_1(a_1-1)} + \dfrac{a_2^2}{1+2a_2(a_2-1)} + \cdots + \dfrac{a_{80}^2}{1+2a_{80}(a_{80}-1)}$$
toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 40  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 60  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 80$

Şekilde $|AB|=|AC|$, $AH \perp BC$, $AD \perp EC$, $\angle{BAD}=\angle{DAH}$ ve $5|EB|=2|HC|$ ise $\dfrac{|AE|}{|BD|-|DH|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 45  \qquad\textbf{b)}\ 47  \qquad\textbf{c)}\ 55  \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 40$

$A,B,C,D,E$ rakamlar olmak üzere, $2 \leq A < B \leq C \leq D < E \leq 8$ koşulunu sağlayan kaç $ABCDE$ beş basamaklı sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 147  \qquad\textbf{b)}\ 132  \qquad\textbf{c)}\ 126  \qquad\textbf{d)}\ 156  \qquad\textbf{e)}\ 114$

$m$ ve $n$ sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,  $x^3-x^2-mx-n=0$  denkleminin kökleri $a,b,c$ ise, kökleri
$$\dfrac{a+b-1}{c^2}, \dfrac{b+c-1}{a^2},\dfrac{c+a-1}{b^2}$$
olan denklem aşağıdakilerden hangisidir ?
$$\textbf{a)}\  mx^3+nx^2-x+1=0 \qquad \qquad \qquad\textbf{b)}\ nx^3+mx^2-x+1=0  \qquad  \qquad\qquad\textbf{c)}\ mx^3-nx^2+x-1=0 \qquad \qquad \qquad$$
$$\textbf{d)}\  x^3-x^2 +nx-m=0\qquad\qquad\qquad\textbf{e)}\ nx^3-mx^2+x+1=0$$

$a$ ve $b$ reel sayıları için $a+b=a^2+b^2$ ise $a+7b$ ifadesinin alabileceği maksimum değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ \sqrt{63}  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{65}$

$a,b,c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,
$$3a^2b^2c^2=10(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
eşitliği sağlanıyorsa $(a+b+c)$ toplamı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Şekilde $|AB|=|AC|$, $m(\widehat{ABC})=12^{\circ}$, $m(\widehat{CBD})=33^{\circ}$ ve $m(\widehat{BCD})=45^{\circ}$ ise $AEB$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 78  \qquad\textbf{b)}\ 76  \qquad\textbf{c)}\ 79  \qquad\textbf{d)}\ 81  \qquad\textbf{e)}\ 71$

$1,2$ ve $3$ rakamları kullanılarak yazılan ve $1$ rakamının çift sayıda bulunduğu $62$ basamaklı sayıların sayısı $S$ olsun. $2S-1$ sayısının $77$'ye bölümünden kalan kaçtır? (Uyarı : Sıfır da bir çift sayıdır.)

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 76  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 75$

$a$ ve $b$ tam sayıları $49 \leq a+b \leq 51$ ve $0,71 < \dfrac{b}{a} < 0,73$ eşitsizliklerini sağladığına göre, $a^2-b^2$ değerinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 9$

$f(n)$ ile $n$ doğal sayısının sıfırdan farklı rakamlarının çarpımını gösterelim. Örneğin, $f(1)=1$, $f(20)=2$, $f(205)=10$, $f(1023)=1 \cdot 2 \cdot 3=6$ ($n$ bir basamaklı ise $f(n)=n$ kabul ediyoruz). Buna göre,
$$S=f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(10000)+f(10001)$$
toplamının $50$'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Mete ve Berk'in her birinin çantasında $8$ top vardır. Her iki çantadaki toplar $1$'den $8$'e kadar numaralandırılmıştır. Mete ve Berk kendi çantalarından rastgele birer top çıkarıyorlar. Mete'nin çantasında kalan topların numaralarının toplamı $M$ ve Berk'in çantasında kalan topların numaralarının toplamı da $B$ olsun. $M-B$ farkının $3$'ün katı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{7}{16}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{13}{32}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{8}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{16}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{32}$

$x,y,z$ pozitif reel sayılar olup, $xyz(x+y+z-28)+1=0$ eşitliği sağlanıyorsa, $x$ sayısının alabileceği en büyük değerin karesinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 17  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 19  \qquad\textbf{e)}\ 21$

Şekilde $ABCD$ bir dikdörtgen ve $ADE$ bir eşkenar üçgendir. Eşit yarıçaplı büyük çemberler dikdörtgene ve eşkenar üçgene teğettir. Küçük çember ise büyük çemberlere ve dikdörtgene teğettir ve eşkenar üçgenin $E$ köşesi bu çember üzerindedir. Küçük çemberin yarıçapı $3$ ise büyük çemberlerin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4+\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 5+2\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 5+\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 4+2\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 3+3\sqrt3$

Her takımın diğer takımlarla tam olarak bir kez oynadığı bir futbol turnuvası düzenleniyor. Hiçbir maçın berabere bitmediği bu turnuvada, her takım $11$ oyun kazanıp $11$ oyun kaybetmiştir. Buna göre, $A$'nın $B$'yi, $B$'nin $C$'yi ve $C$'nin $A$'yı yendiği üç takımdan oluşan kaç $\{A,B,C\}$ takım kümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 489  \qquad\textbf{b)}\ 511  \qquad\textbf{c)}\ 513  \qquad\textbf{d)}\ 488  \qquad\textbf{e)}\ 506$

$ABC$ bir kenarı $12$ olan bir eşkenar üçgendir. Dik kenarlarından biri $A$ noktasından geçen ve diğeri $[BC]$ kenarını kesen dik üçgenlerin dik köşelerinin geometrik yerinin belirttiği bölgenin alanını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 32 \pi + 24 \sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 24 \pi + 36 \sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 24(\pi + \sqrt3)  \qquad\textbf{d)}\ 36(\pi +\sqrt3)  \qquad\textbf{e)}\ 36 \pi + 24 \sqrt3$

Reel katsayılı ve sabitten farklı $P(x)$ polinomu, her $x$ reel sayısı için,
$$P(3P(x))=3P(P(x))+2(P(x))^2$$ eşitliğini sağlasın. $P(1)=-1$ olduğuna göre, $P(6)$'nın değerini bulunuz.

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Bir doğru parçasını $5$ eşit parçaya bölen $6$ nokta veriliyor. Noktaların herhangi ikisini birleştiren doğru parçasını çap kabul eden çemberler çizilerek birbirinden farklı figürler elde edilmek isteniyor. Bir figürde birden fazla çember varsa bu çemberlerin ortak noktası olmaması gerekiyor. Buna göre kaç farklı figür elde edilebilir? (Hiç çember çizilmemiş ilk durum da sayılacaktır.)

Örneğin, bir doğru parçasını $3$ eşit parçaya bölen $4$ nokta verilseydi, aşağıda gösterilen $9$ farklı figür elde edilirdi :



$\textbf{a)}\ 51  \qquad\textbf{b)}\ 41  \qquad\textbf{c)}\ 47  \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 42$