2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 02

[matematikolimpiyati]

                   $\left\{ \begin{array}{lcr}  x^2+x\sqrt[3]{xy^2}=18 \\ y^2+y\sqrt[3]{yx^2}=50 \end{array}\right.$

olduğuna göre, $x^2+y^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 38  \qquad\textbf{b)}\ 41  \qquad\textbf{c)}\ 34  \qquad\textbf{d)}\ 43  \qquad\textbf{e)}\ 44$

[diktendik]

$\sqrt[3]{x}=a$ ve $\sqrt[3]{y}=b$ olsun. Denklem sistemi
$a^6 + b^4a^2 = 18$
$b^6 + a^4b^2 = 50$ olur
Taraf tarafa bölerek $\frac{b^4}{a^4}=\frac{25}{9}$ elde edilir. $b^2=5k,a^2=3k$ veya $b^2=-5k,a^2=3k$ olmalıdır. Ayrı ayrı inceleyelim. İlk durumda ilk denklmde yerine koyarak $k^3=\frac{1}{4}$ elde edilir. Bizden istenen ifade $a^6+b^6=152k^3=38$ elde edilir. İkinci durumda yeniden $k^3=\frac{1}{4}$ elde edilir. Cevap yine 38 gelir.