Balkan Matematik Olimpiyatı - 1985 Çözümleri

Çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninde$,\ AB$'nin orta noktası $D$ ve $ACD$ üçgeninin ağırlık merkezi de $E$ olsun. İspatlayınız ki $CD$'nin $OE$'ye dik olması için gerek ve yeter koşul $AB=AC$ olmasıdır.

(Bulgaristan)

Çözüm:

$AD$ nin orta noktası $F$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$, $BC$ nin orta noktası $H$ olsun.

$DE$, $AC$ yi ortalayacağı için $DE \parallel BC$.
$CG:GD=CE:EF=2:1$ olduğu için $GE \parallel DF$.
$OD \perp AB$ olduğu için $OD \perp GE$.

$OE \perp CD$ ise $O$ $\triangle GED$ nin diklik merkezidir.
$GO \perp ED$ ve $DE \parallel BC$ olduğu için $GO \perp BC$. Dolayısıyla da $O, G, H$ doğrusaldır. Bu da $\triangle BGC$ yi ikizkenar yapar. Bu da $\triangle ABC$ de $B$ ve $C$ köşelerine ait kenarortayların eşit olduğu anlamına gelir. İki kenartaoy eşitse bu üçgen ikizkenardır. (Kenarortay uzunluk formülleri yazılırsa kenarların eşit olduğu görülebilir.) Yani $AB = AC$ dir.
$AB = AC$ ise $O, G, H$ doğrusaldır. Yani $OG \perp BC$ ve $GO \perp DE$. $OD \perp GE$ olduğu için $O$, $\triangle GED$ nin diklik merkezidir. Dolayısıyla, $OE \perp GD$

$a,b,c,d \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ reel sayıları aşağıdaki şartları sağlasın :

$\sin a +\sin b +\sin c +\sin d =1,$

$\cos{2a} + \cos{2b} + \cos{2c} + \cos{2d} \geq \dfrac{10}{3}$

$a,b,c,d \in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$ olduğunu ispatlayınız.

(Romanya)

Reel eksen üzerinde bulunan $19a+85b\ (a,b \in \mathbb N)$ şeklindeki tüm tam sayı noktalar kırmızıya$,$ geri kalan tüm tam sayı noktalar ise yeşile boyanıyor. $A$'ya göre simetrik herhangi iki tam sayı noktası farklı renklerde boyanmış olacak şekilde bir $A$ noktası olup olmadığını bulunuz.

(Yunanistan)

$1985$ kişinin katıldığı bir konferansta her $3$ kişilik grupta aynı dili konuşan en az $2$ kişi vardır. Her bir katılımcının en fazla $5$ dil konuştuğu bu konferansta aynı dili konuşan en az $200$ kişi olduğunu kanıtlayın.

(Romanya)

Çözüm:

Hiçbir ortak dil konuşmayan iki kişiyi ele alalım. (Şimdilik böyle iki kişinin bulunduğunu varsayalım.) İki kişi en fazla $10$ farklı dil konuşacak. Diğer $1983$ kişiden her biri bu $10$ dilden birini konuşmak zorunda. Güvercin Yuvası Prensibine göre dillerden biri bu $1983$ kişinin en az $\lceil 1983/10 \rceil = 199$ u tarafından konuşulacak. Bu dil aynı zamanda başlangıçtaki iki kişiden biri tarafından da konuşulacağı için, bu dil en az $200$ kişi tarafından konuşulur.

Peki ya hiçbir ortak dil konuşmayan iki kişi bulunamazsa? Yani her iki kişi en az bir dili ortak konuşuyorsa.
Bu durumda bir kişi en fazla $5$ dil bileceği için, bu dillerden birisi diğer $1984$ kişiden en az $\lceil 1984/5 \rceil = 397$ si tarafından konuşuluyor olacak. Bu da bu dilin en az $398$ kişi tarafından konuşuluyor olması demek.