Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 1998

$T=1!+2!+3!+ ... +1997!+1998!$ toplamının son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$10!$ sayısının son iki basamağı $00$ şeklinde olduğundan, toplamın bundan sonraki diğer terimlerinde de son iki basamak $00$ şeklindedir. O halde $1! + 2! + 3! + \cdots + 9!$ toplamı ile ilgilenmeliyiz. İncelersek,

$$ T \equiv 01 + 02 + 06 + 24 + 20 + 20 + 40 + 20 + 80 \equiv 13 \pmod{100}$$
olur. Son iki basamak $13$ olup bu rakamların toplamı $1+3=4$ bulunur.

$A=2^{1998}$ sayısının onluk sayı sistemindeki yazılışında en baştaki rakam silinip en sona yazılarak $B$ sayısı elde ediliyor. $|A-B|$ ' nin rakamlar toplamına $a,$ $a$ ' nın rakamlar toplamına $b$ ve $b$ ' nin rakamlar toplamına da $c$ denirse $,$ $c$ ' nin rakamlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 18 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 19 \qquad\textbf{e)}\ 1+9+9+8$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$|A-B|$ nin kendisi $9$ un bir katı olacağından rakamlarının toplamı da $9$ un bir katıdır. $a,b,c$ sayıları da $9$'un katıdır. $c$ sayısının da $1$ basamaklı olduğu görülebilir. Böylece $c=9$ olmalıdır.

$0 \leq n \leq 1998$ için$,$ $\sqrt[3]{98 \cdot n}$ tamsayı olacak şekilde kaç tane $n$ sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 110 \qquad\textbf{e)}\ 111$

Bir $4$ basamaklı sayının rakamlarının ters sırada dizilmesinden elde edilen $4$ basamaklı sayı ilk verilen sayının $4$ katı olmaktadır. Bu sayının rakamlar toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 17 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 20$

Düzlem üzerinde verilmiş $15$ noktanın $6$'sı bir doğru üzerindedir ve bunların dışında başka hiçbir üç nokta bir doğru üzerinde değildir. Köşeleri bu $15$ noktada bulunan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 435 \qquad\textbf{b)}\ 450 \qquad\textbf{c)}\ 465 \qquad\textbf{d)}\ 860 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$[a]$ ile $a$ reel sayısının tam kısmı gösterildiğine göre $x-\left[ x \right]=[(0,5)x-2]$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

Şekilde görülen yaylar $P$ merkezli ve $N$ merkezli çemberlerin yaylarıdır. $\hat{BAC}$ açısı $22^{\circ}$ olduğuna göre $\hat{ACB}$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 44 \qquad\textbf{b)}\ 46 \qquad\textbf{c)}\ 54 \qquad\textbf{d)}\ 57 \qquad\textbf{e)}\ 68$

Bir dizinin ilk terimi $1$'dir ve her $n \geq 2$ için ilk $n$ teriminin çarpımı $n^2$ dir. Dizinin altıncı ve onbirinci terimlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{50}{27} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{53}{20} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{121}{36}$

Her yıldız (*) bir rakam olmak üzere$,$

ifadesindeki çarpımın rakamları toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 19 \qquad\textbf{c)}\ 17 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 15$

Bir $ABCD$ yamuğunun köşegenleri birbirine dik olmak üzere, uzunlukları $5$ ve $12$'dir. Yamuğun orta tabanının uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6,5 \qquad\textbf{d)}\ 8,5 \qquad\textbf{e)}\ 8$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$[AB]$ yi sağa doğru $|CD|$ kadar uzatarak $F$ noktasını bulalım. Bu takdirde, $DBFC$ bir paralelkenar ve $AFC$ dik üçgen olur. Pisagor teoremi kullanılarak,

$|AF|^2 = |AC|^2 + |CF|^2 = |AC|^2 + |DB|^2 = 5^2 + 12^2 = 169$

bulunur. Böylece $|AF| = |AB| + |BF| = 13$ ve yamuğun orta tabanı

$$ \dfrac{|AB| + |DC|}{2} = \dfrac{|AB| + |BF|}{2} = \dfrac{13}{2} = 6,5 $$
olur.

Not: Çözüm, resmi çözüm kitapçığından alınmıştır.

$x^2+ax+3a=0$ denkleminin kökleri tamsayı ise, $a$ reel sayısının alabileceği değerler sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 1$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

Denklemin kökleri $m,n$ tam sayıları olsun. Vieta formüllerinden $m+n=-a$ ve $mn= 3a$ olup $a$ bir tam sayı olmalıdır. Bu durumda denklemin diskriminantı tam kare olmalıdır. $\Delta = a^2 - 4\cdot 3a = b^2$ diyelim. Burada $b\geq 0$ bir tam sayıdır. $a^2 - 12a +36 = b^2 + 36 \implies (a-6)^2 - b^2 = 36$ elde edilir. İki kare farkından, $(a+b-6)(a-b-6)=36$ olup şu durumları inceleriz:
\begin{align}
\begin{cases}
a+b-6 &= 18 \\
a-b-6 &= 2
\end{cases}

\qquad

\begin{cases}
a+b-6 &= 6 \\
a-b-6 &= 6
\end{cases}

\qquad

\begin{cases}
a+b-6 &= -6 \\
a-b-6 &= -6
\end{cases}

\qquad

\begin{cases}
a+b-6 &= -2 \\
a-b-6 &= -18
\end{cases}

\end{align}

Bu denklemlerden sırasıyla $(a,b) = (16,8), (12, 0), (0,0), (-4,8)$ çözümleri bulunur. Bunları ikinci dereceden denklemde yazarak kontrol edelim.

$a=16$ için $x^2 + 16x + 48 = (x+6)(x+8) = 0 \implies$ $m=-6, n= -8$.
$a=12$ için $x^2 + 12x + 36 = (x+6)(x+6) = 0 \implies$ $m= n= -6$.
$a=0$ için $x^2 = 0 \implies$ $m = n= 0$.
$a=-4$ için $x^2 - 4x -12 = (x-6)(x+2) = 0 \implies$ $m=6, n= 2$.

Yani $a$ nın $4$ değeri vardır.

$x^2+y^2=x^3$ denklemini sağlayan $(x,y)$ doğal sayı ikililerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$y^2 = x^2(x-1)$ olduğundan, $x-1$ sayısı da bir doğal sayının karesine eşit olmalıdır. Böylece $x = n^2 + 1$ bulunur ve $n$ doğal sayısı keyfi olarak değer alabilir. Yani, verilen denklemi sağlayan sonsuz çoklukta $(x,y)$ doğal sayı ikilisi bulunur.

$101 \cdot 102 \cdot 103 \cdot \ ...\ \cdot 300=7^k \cdot n,\ (k,n \in \mathbb N)$ eşitliğini sağlayan en büyük $k$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 26 \qquad\textbf{b)}\ 29 \qquad\textbf{c)}\ 30 \qquad\textbf{d)}\ 31 \qquad\textbf{e)}\ 32$

$ABC$ üçgeninde $[AK]$ açıortayı çizilmiştir ($K$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir). $ABK$ üçgeninin içteğet çemberi ile $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezleri çakışıyorsa, $\hat{ACB}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 72 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$P(x)=(1+x+x^2+ ... +x^{99}+x^{100})^3$ polinomunda parantezler açıldıktan sonra, $x^{111}$ in katsayısı ne olacaktır?

$\textbf{a)}\ 6432 \qquad\textbf{b)}\ 6328 \qquad\textbf{c)}\ 6130 \qquad\textbf{d)}\ 5640 \qquad\textbf{e)}\ 5600$

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ rakamları kullanılarak yazılabilen tüm dört basamaklı çift sayıların en baştaki rakamlarının toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 540 \qquad\textbf{b)}\ 525 \qquad\textbf{c)}\ 510 \qquad\textbf{d)}\ 495 \qquad\textbf{e)}\ 410$

Çözüm:

Yanıt: seçeneklerde yok.

Çözüm: Binler basamağına $1,2,3,4,5$ rakamları gelebilir. Birler basamağına $0,2,4$ rakamları gelebilir. Onlar ve yüzler basamağına ise $0,1,2,3,4,5$ rakamları gelebilir. Çarpma prensibi ile $5\cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 $ tane istenen özellikte sayı yazılabilir. Bunların $1/5$ i $1$ ile başlar, $1/5$ i $2$ ile başlar, ...vb. Dolayısıyla $1$ ile başlayan $6 \cdot 6 \cdot 3 = 108$ sayı vardır. Yine $2,3,4,5$ ile başlayan $108$'er sayı vardır. Binler basamağındaki bu rakamların toplamı $108(1+2+3+4+5) = 108\cdot 15 = 1620$ olur.

Resmi çözüm kitabındaki ilgili kısımda bir hesaplama hatası görülüyor:

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarının orta noktası olan $N$'den $[BC]$'ye çizilen paralel doğru $[AC]$ kenarını $M$ noktasında kesiyor. $[BC]$ kenarı üzerinde, $|BP|=2|PC|$ olan olan $P$ noktası alınıyor. $[NM]$ ve $[AP]$ doğrularının kesiştiği nokta $R$ olsun. $ARM$ üçgeninin alanı $1$ ise, $NRPB$ yamuğunun alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 4,5 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

$ARM \sim APC $ olup benzerlik oranı $2$ dir. Dolayısıyla $Alan(APC) = 4\cdot Alan(ARM) = 4$ olup $Alan(RPCM) = 3$ olur. $A$ merkezli homotetiden (veya basit benzerliklerden) $\dfrac{|NR|}{|RM|}=\dfrac{|BP|}{|PC|}=2$ olur. Ayrıca $RPCM$ ve $NRPB$ yamukları aynı yüksekliğe sahip olduğundan $Alan(NRPB) = 2\cdot Alan(RPCM) = 2\cdot 3 = 6$ elde edilir.

$a$ ve $b$ sayılarının toplamı $x^2+6x+1=0$ denkleminin köklerinin toplamına; $a$ ve $b$ nin çarpımı ise, $x^2+8x+7=0$ denkleminin köklerinin çarpımına eşittir. $a$ ve $b$ sayılarının en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -3+\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ -1 \qquad\textbf{c)}\ -4+\sqrt{15} \qquad\textbf{d)}\ 3+\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 7$

$x^2-y<-1$ ve $x^2+y<5$ eşitsizliklerini sağlayan kaç tane $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 5\ \text{ten çok}$

İki çocuk birlikte $10$ menekşe, $15$ lale, $14$ karanfil topladı. Her çocuğa, her çiçekten en az $3$'er tane düşmek üzere, tüm çiçekler kaç farklı şekilde bölüştürülür?

$\textbf{a)}\ 2640 \qquad\textbf{b)}\ 1998 \qquad\textbf{c)}\ 900 \qquad\textbf{d)}\ 600 \qquad\textbf{e)}\ 450$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 1998 - Lise 1-2 Çözümleri