1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ sayılarının toplamı $x^2+6x+1=0$ denkleminin köklerinin toplamına; $a$ ve $b$ nin çarpımı ise, $x^2+8x+7=0$ denkleminin köklerinin çarpımına eşittir. $a$ ve $b$ sayılarının en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -3+\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ -4+\sqrt{15}  \qquad\textbf{d)}\ 3+\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{A}$

Vieta formüllerinden $a+b=-6$ ve $ab=7$  yazabiliriz. Dolayısıyla $a$ ve $b$ sayıları $x^2+6x+7=0$ denkleminin kökleridir. Bu denklemin büyük kökünü bulmamız isteniyor.

$x^2+6x+7=0 \implies x^2+6x+9=2 \implies (x+3)^2=2 \implies x+3=\pm \sqrt2 \implies x=-3 \pm \sqrt2$ olduğundan denklemin büyük kökü $-3+\sqrt2$'dir.