Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 1998 - Lise 1-2
1
$T=1!+2!+3!+ ... +1997!+1998!$ toplamının son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
2
$A=2^{1998}$ sayısının onluk sayı sistemindeki yazılışında en baştaki rakam silinip en sona yazılarak $B$ sayısı elde ediliyor. $|A-B|$ ' nin rakamlar toplamına $a,$ $a$ ' nın rakamlar toplamına $b$ ve $b$ ' nin rakamlar toplamına da $c$ denirse $,$ $c$ ' nin rakamlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 18 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 19 \qquad\textbf{e)}\ 1+9+9+8$
3
$0 \leq n \leq 1998$ için$,$ $\sqrt[3]{98 \cdot n}$ tamsayı olacak şekilde kaç tane $n$ sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 110 \qquad\textbf{e)}\ 111$
4
Bir $4$ basamaklı sayının rakamlarının ters sırada dizilmesinden elde edilen $4$ basamaklı sayı ilk verilen sayının $4$ katı olmaktadır. Bu sayının rakamlar toplamı nedir?
$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 17 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 20$
5
Düzlem üzerinde verilmiş $15$ noktanın $6$'sı bir doğru üzerindedir ve bunların dışında başka hiçbir üç nokta bir doğru üzerinde değildir. Köşeleri bu $15$ noktada bulunan kaç üçgen vardır?
$\textbf{a)}\ 435 \qquad\textbf{b)}\ 450 \qquad\textbf{c)}\ 465 \qquad\textbf{d)}\ 860 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
6
$[a]$ ile $a$ reel sayısının tam kısmı gösterildiğine göre $x-\left[ x \right]=[(0,5)x-2]$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$
7
Şekilde görülen yaylar $P$ merkezli ve $N$ merkezli çemberlerin yaylarıdır. $\hat{BAC}$ açısı $22^{\circ}$ olduğuna göre $\hat{ACB}$ açısının ölçüsü kaç derecedir?
$\textbf{a)}\ 44 \qquad\textbf{b)}\ 46 \qquad\textbf{c)}\ 54 \qquad\textbf{d)}\ 57 \qquad\textbf{e)}\ 68$
8
Bir dizinin ilk terimi $1$'dir ve her $n \geq 2$ için ilk $n$ teriminin çarpımı $n^2$ dir. Dizinin altıncı ve onbirinci terimlerinin toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{50}{27} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{53}{20} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{121}{36}$
9
Her yıldız (*) bir rakam olmak üzere$,$
ifadesindeki çarpımın rakamları toplamı nedir?
$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 19 \qquad\textbf{c)}\ 17 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 15$
10
Bir $ABCD$ yamuğunun köşegenleri birbirine dik olmak üzere, uzunlukları $5$ ve $12$'dir. Yamuğun orta tabanının uzunluğu kaçtır?
$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6,5 \qquad\textbf{d)}\ 8,5 \qquad\textbf{e)}\ 8$
11
$x^2+ax+3a=0$ denkleminin kökleri tamsayı ise, $a$ reel sayısının alabileceği değerler sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 1$
12
$x^2+y^2=x^3$ denklemini sağlayan $(x,y)$ doğal sayı ikililerinin sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
13
$101 \cdot 102 \cdot 103 \cdot \ ...\ \cdot 300=7^k \cdot n,\ (k,n \in \mathbb N)$ eşitliğini sağlayan en büyük $k$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 26 \qquad\textbf{b)}\ 29 \qquad\textbf{c)}\ 30 \qquad\textbf{d)}\ 31 \qquad\textbf{e)}\ 32$
14
$ABC$ üçgeninde $[AK]$ açıortayı çizilmiştir ($K$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir). $ABK$ üçgeninin içteğet çemberi ile $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezleri çakışıyorsa, $\hat{ACB}$ açısı kaç derecedir?
$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 72 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
15
$P(x)=(1+x+x^2+ ... +x^{99}+x^{100})^3$ polinomunda parantezler açıldıktan sonra, $x^{111}$ in katsayısı ne olacaktır?
$\textbf{a)}\ 6432 \qquad\textbf{b)}\ 6328 \qquad\textbf{c)}\ 6130 \qquad\textbf{d)}\ 5640 \qquad\textbf{e)}\ 5600$
16
$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ rakamları kullanılarak yazılabilen tüm dört basamaklı çift sayıların en baştaki rakamlarının toplamı nedir?
$\textbf{a)}\ 540 \qquad\textbf{b)}\ 525 \qquad\textbf{c)}\ 510 \qquad\textbf{d)}\ 495 \qquad\textbf{e)}\ 410$
17
Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarının orta noktası olan $N$'den $[BC]$'ye çizilen paralel doğru $[AC]$ kenarını $M$ noktasında kesiyor. $[BC]$ kenarı üzerinde, $|BP|=2|PC|$ olan olan $P$ noktası alınıyor. $[NM]$ ve $[AP]$ doğrularının kesiştiği nokta $R$ olsun. $ARM$ üçgeninin alanı $1$ ise, $NRPB$ yamuğunun alanı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 4,5 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$
18
$a$ ve $b$ sayılarının toplamı $x^2+6x+1=0$ denkleminin köklerinin toplamına; $a$ ve $b$ nin çarpımı ise, $x^2+8x+7=0$ denkleminin köklerinin çarpımına eşittir. $a$ ve $b$ sayılarının en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ -3+\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ -1 \qquad\textbf{c)}\ -4+\sqrt{15} \qquad\textbf{d)}\ 3+\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 7$
19
$x^2-y<-1$ ve $x^2+y<5$ eşitsizliklerini sağlayan kaç tane $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 5\ \text{ten çok}$
20
İki çocuk birlikte $10$ menekşe, $15$ lale, $14$ karanfil topladı. Her çocuğa, her çiçekten en az $3$'er tane düşmek üzere, tüm çiçekler kaç farklı şekilde bölüştürülür?
$\textbf{a)}\ 2640 \qquad\textbf{b)}\ 1998 \qquad\textbf{c)}\ 900 \qquad\textbf{d)}\ 600 \qquad\textbf{e)}\ 450$