Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

1.1 $2^{101}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 63 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 31$

1.2 $2^{102}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 63 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 31$

1.3 $2^{103}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 63 \qquad\textbf{e)}\ 31$

1.4 $2^{104}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 31 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 63 \qquad\textbf{e)}\ 15$

1.5 $2^{105}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 63 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 31$

1.6 $2^{106}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 127 \qquad\textbf{b)}\ 63 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 31$

1.7 $2^{107}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 255 \qquad\textbf{b)}\ 63 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 127$

1.8 $2^{110}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 63 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 31$

1.9 $2^{111}-1$ sayısının $2^9-1$ sayısına bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 63 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 31$

2.1 $$A=27^2-26^2-25^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=27 \cdot 26+26 \cdot 25+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1080 \qquad\textbf{b)}\ 1050 \qquad\textbf{c)}\ 1024 \qquad\textbf{d)}\ 1064 \qquad\textbf{e)}\ 1032$

2.2 $$A=20^2-19^2-18^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=20 \cdot 19+19 \cdot 18+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 590 \qquad\textbf{b)}\ 600 \qquad\textbf{c)}\ 596 \qquad\textbf{d)}\ 612 \qquad\textbf{e)}\ 614$

2.3 $$A=18^2-17^2-16^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=18 \cdot 17+17 \cdot 16+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 477 \qquad\textbf{b)}\ 463 \qquad\textbf{c)}\ 400 \qquad\textbf{d)}\ 500 \qquad\textbf{e)}\ 483$

2.4 $$A=24^2-23^2-22^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=24 \cdot 23+23 \cdot 22+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 852 \qquad\textbf{b)}\ 850 \qquad\textbf{c)}\ 845 \qquad\textbf{d)}\ 872 \qquad\textbf{e)}\ 860$

2.5 $$A=25^2-24^2-23^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=25 \cdot 24+24 \cdot 23+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 925 \qquad\textbf{b)}\ 931 \qquad\textbf{c)}\ 933 \qquad\textbf{d)}\ 961 \qquad\textbf{e)}\ 913$

2.6 $$A=19^2-18^2-17^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=19 \cdot 18+18 \cdot 17+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 532 \qquad\textbf{b)}\ 534 \qquad\textbf{c)}\ 580 \qquad\textbf{d)}\ 520 \qquad\textbf{e)}\ 544$

2.7 $$A=21^2-20^2-19^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=21 \cdot 20+20 \cdot 19+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 651 \qquad\textbf{b)}\ 657 \qquad\textbf{c)}\ 661 \qquad\textbf{d)}\ 673 \qquad\textbf{e)}\ 683$

2.8 $$A=22^2-21^2-20^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=22 \cdot 21+21 \cdot 20+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 715 \qquad\textbf{b)}\ 719 \qquad\textbf{c)}\ 723 \qquad\textbf{d)}\ 781 \qquad\textbf{e)}\ 731$

2.9 $$A=23^2-22^2-21^2- \cdots -2^2-1^2$$ $$B=23 \cdot 22+22 \cdot 21+ \cdots +3 \cdot 2+2 \cdot 1$$ ise, $A+B$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 782 \qquad\textbf{b)}\ 800 \qquad\textbf{c)}\ 810 \qquad\textbf{d)}\ 812 \qquad\textbf{e)}\ 798$

3.1
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 6x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

3.2
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 5x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

3.3
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 4x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

3.4
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 3x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 8$

3.5
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 2x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

3.6
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 11x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 23 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 17$

3.7
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 10x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 18$

3.8
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 9x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 18$

3.9
$0 \leq x,y \leq 1$ olacak şekilde seçilen $x$ ve $y$ reel sayıları için $y \geq 8x $ olma olasılığı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 17 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

4.1
Bir kenarı $\dfrac{11}{4}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 49 \qquad\textbf{b)}\ 43 \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 35 \qquad\textbf{e)}\ 45$

4.2
Bir kenarı $\dfrac{3}{4}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 17 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 18$

4.3
Bir kenarı $\dfrac{1}{2}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 17 \qquad\textbf{d)}\ 19 \qquad\textbf{e)}\ 12$

4.4
Bir kenarı $\dfrac{1}{4}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 12$

4.5
Bir kenarı $\dfrac{3}{2}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 29 \qquad\textbf{b)}\ 25 \qquad\textbf{c)}\ 28 \qquad\textbf{d)}\ 27 \qquad\textbf{e)}\ 31$

4.6
Bir kenarı $\dfrac{5}{2}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 45 \qquad\textbf{b)}\ 47 \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ 35 \qquad\textbf{e)}\ 49$

4.7
Bir kenarı $\dfrac{5}{4}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 25 \qquad\textbf{b)}\ 31 \qquad\textbf{c)}\ 23 \qquad\textbf{d)}\ 27 \qquad\textbf{e)}\ 29$

4.8
Bir kenarı $\dfrac{7}{4}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 33 \qquad\textbf{b)}\ 37 \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 35 \qquad\textbf{e)}\ 29$

4.9
Bir kenarı $\dfrac{9}{4}$ br uzunluğunda olan bir küpün tüm köşegenlerinin toplamı, $b$ ve $d$ asal sayılar, $a$ ve $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $a\sqrt b+c\sqrt d$ biçiminde ifade ediliyor. Buna göre, $a+b+c+d$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 41 \qquad\textbf{b)}\ 37 \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 35 \qquad\textbf{e)}\ 43$

5.1

$(x,y)$ noktası şekildeki dikdörtgensel bölgenin içindeki veya sınırındaki noktalar arasından seçilmek koşuluyla

$(x^2+y^2)+5(x-y)$

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 86 \qquad\textbf{b)}\ 88 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 85 \qquad\textbf{e)}\ 83$

6.1
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{7}{15},\dfrac{2}{15},\dfrac{10}{3},\dfrac{13}{15} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $45(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 26 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 21$

6.2
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{1}{15},\dfrac{11}{15},\dfrac{6}{5},\dfrac{2}{15} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $75(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 22 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 33 \qquad\textbf{e)}\ 15$

6.3
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{14}{15},\dfrac{9}{5},\dfrac{1}{5},\dfrac{4}{15} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $25(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 21$

6.4
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{5}{4},\dfrac{9}{10},\dfrac{1}{10},\dfrac{1}{5} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $20(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 21$

6.5
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{13}{20},\dfrac{8}{5},\dfrac{3}{20},\dfrac{1}{10} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $50(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 23 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 21$

6.6
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{1}{6},\dfrac{8}{3},\dfrac{11}{12},\dfrac{5}{12} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $18(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 19$

6.7
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{7}{4},\dfrac{11}{14},\dfrac{1}{7},\dfrac{3}{14} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $28(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 17$

6.8
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{1}{7},\dfrac{9}{7},\dfrac{2}{21},\dfrac{16}{21} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $49(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 18 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 20$

6.9
$x$ ve $y$ rasyonel sayılar olmak üzere,
$A=\left \{x+y,x-y,x \cdot y, \dfrac{x}{y} \right \}$ ve $B=\left \{ \dfrac{8}{7},\dfrac{15}{28},\dfrac{1}{28},\dfrac{1}{14} \right \}$
kümeleri birbirine eşitse, $98(x^2+xy)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 28 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 14$

7.1
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,149,150 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.2
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,139,140 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.3
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,109,110 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.4
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,179,180 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.5
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,199,200 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.6
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,129,130 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

7.7
$n \in \{ 20,21,22, \cdots ,159,160 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 13$

7.8
$n \in \{ 19,20,21, \cdots ,189,190 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 11$

7.9
$n \in \{ 1,2,3, \cdots ,79,80 \}$ olmak üzere,

$\sqrt{n!(n+1)!}$ ve $\sqrt{n!(n+2)!}$

ifadelerini tamsayı yapan $n$ değerlerinin sayısını sırasıyla $A$ ve $B$ ile gösterelim. $A+B$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 9$

8.1
Sadece $5$ ve $11$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,5,11,5^2,5 \cdot 11,11^2,5^3,5^2 \cdot 11, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 55 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 23$

8.2
Sadece $3$ ve $5$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,3,5,3^2,3 \cdot 5,3^3,5^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 23 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 17$

8.3
Sadece $2$ ve $5$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,2,5,2^2,2 \cdot 5,2^3,5^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13$

8.4
Sadece $2$ ve $7$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,2,7,2^2,2 \cdot 7,2^3,7^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 9$

8.5
Sadece $2$ ve $11$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,2,11,2^2,2 \cdot 11,2^3,11^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 17 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 13$

8.6
Sadece $3$ ve $7$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,3,7,3^2,3 \cdot 7,3^3,7^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 50 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 10$

8.7
Sadece $5$ ve $7$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,5,7,5^2,5 \cdot 7,5^3,7^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 59 \qquad\textbf{b)}\ 57 \qquad\textbf{c)}\ 35 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 12$

8.8
Sadece $2$ ve $13$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,2,13,2^2,2 \cdot 13,2^3,2^4,13^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 17$

8.9
Sadece $3$ ve $11$ sayılarının doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarıyla oluşturulan

$S=\{1,3,11,3^2,3 \cdot 11,3^3,11^2, ... \}$

kümesindeki tüm elemanların çarpmaya göre terslerinin toplamı, $m$ ve $n$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{m}{n}$ olsun. $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 53 \qquad\textbf{b)}\ 50 \qquad\textbf{c)}\ 33 \qquad\textbf{d)}\ 37 \qquad\textbf{e)}\ 14$

9.1
Şekilde $m(ABC)=36^{\circ}$ , $m(ACB)=18^{\circ}$ ve $|CE|=2|BD|$ ise, $EAC$ açısının ölçüsü kaçtır?

$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 53 \qquad\textbf{c)}\ 55 \qquad\textbf{d)}\ 61 \qquad\textbf{e)}\ 57$

10.1
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+6$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-6$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -36 \qquad\textbf{b)}\ -12 \qquad\textbf{c)}\ -26 \qquad\textbf{d)}\ -18 \qquad\textbf{e)}\ -24$

10.2
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+8$ polinomu $(x-2)^2 $'ne, $P(x)-8$ polinomu da $(x+2)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -24 \qquad\textbf{b)}\ -30 \qquad\textbf{c)}\ -14 \qquad\textbf{d)}\ -15 \qquad\textbf{e)}\ -16$

10.3
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+6$ polinomu $(x-2)^2 $'ne, $P(x)-6$ polinomu da $(x+2)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $2$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -9 \qquad\textbf{b)}\ -12 \qquad\textbf{c)}\ -7 \qquad\textbf{d)}\ -3 \qquad\textbf{e)}\ 5$

10.4
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+4$ polinomu $(x-2)^2 $'ne, $P(x)-4$ polinomu da $(x+2)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -12 \qquad\textbf{b)}\ -13 \qquad\textbf{c)}\ -14 \qquad\textbf{d)}\ -15 \qquad\textbf{e)}\ -11$

10.5
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+1$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-1$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -6 \qquad\textbf{b)}\ -9 \qquad\textbf{c)}\ -3 \qquad\textbf{d)}\ -12 \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.6
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+5$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-5$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -30 \qquad\textbf{b)}\ -12 \qquad\textbf{c)}\ -18 \qquad\textbf{d)}\ -24 \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.7
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+2$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-2$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -12 \qquad\textbf{b)}\ -24 \qquad\textbf{c)}\ -18 \qquad\textbf{d)}\ -16 \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.8
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+3$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-3$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -18 \qquad\textbf{b)}\ -12 \qquad\textbf{c)}\ -24 \qquad\textbf{d)}\ -16 \qquad\textbf{e)}\ -15$

10.9
$P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, $P(x)+4$ polinomu $(x-1)^2 $'ne, $P(x)-4$ polinomu da $(x+1)^2$'ne tam bölünüyorsa, $P(x)$ polinomunda $x$ teriminin katsayısının $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -24 \qquad\textbf{b)}\ -12 \qquad\textbf{c)}\ -18 \qquad\textbf{d)}\ -16 \qquad\textbf{e)}\ -15$

11.1
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $222221121$ sayısından küçük olan $9$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 498 \qquad\textbf{b)}\ 499 \qquad\textbf{c)}\ 500 \qquad\textbf{d)}\ 501 \qquad\textbf{e)}\ 502$

11.2
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $2222221121$ sayısından küçük olan $10$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1010 \qquad\textbf{b)}\ 1011 \qquad\textbf{c)}\ 1012 \qquad\textbf{d)}\ 1013 \qquad\textbf{e)}\ 1014$

11.3
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $2222221122$ sayısından küçük olan $10$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1011 \qquad\textbf{b)}\ 1015 \qquad\textbf{c)}\ 1014 \qquad\textbf{d)}\ 1013 \qquad\textbf{e)}\ 1012$

11.4
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $2222221112$ sayısından küçük olan $10$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1009 \qquad\textbf{b)}\ 1010 \qquad\textbf{c)}\ 1011 \qquad\textbf{d)}\ 1012 \qquad\textbf{e)}\ 1013$

11.5
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $222222121$ sayısından küçük olan $9$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 506 \qquad\textbf{b)}\ 507 \qquad\textbf{c)}\ 508 \qquad\textbf{d)}\ 509 \qquad\textbf{e)}\ 510$

11.6
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $2222221221$ sayısından küçük olan $10$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1014 \qquad\textbf{b)}\ 1015 \qquad\textbf{c)}\ 1016 \qquad\textbf{d)}\ 1017 \qquad\textbf{e)}\ 1018$

11.7
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $222221221$ sayısından küçük olan $9$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 502 \qquad\textbf{b)}\ 503 \qquad\textbf{c)}\ 504 \qquad\textbf{d)}\ 505 \qquad\textbf{e)}\ 506$

11.8
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $2222221212$ sayısından küçük olan $10$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1013 \qquad\textbf{b)}\ 1017 \qquad\textbf{c)}\ 1014 \qquad\textbf{d)}\ 1015 \qquad\textbf{e)}\ 1016$

11.9
Rakamları yalnız $1$ ve $2$' lerden oluşan ve $2222221211$ sayısından küçük olan $10$ basamaklı kaç tane pozitif tamsayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1012 \qquad\textbf{b)}\ 1013 \qquad\textbf{c)}\ 1014 \qquad\textbf{d)}\ 1015 \qquad\textbf{e)}\ 1016$

12.1
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-12z)=-1$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.2
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-6z)=2$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.3
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-24z)=-13$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.4
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-24z)=-1$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.5
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+16z^2)+(4x-6xy-8z)=2$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $4$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.6
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+16z^2)+(4x-6xy-24z)=-6$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $4$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.7
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-12z)=4$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.8
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-6z)=7$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.9
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-24z)=-8$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 2$

13.1
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_6+x_7<4$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_7)$ 'lisi vardır?

$\textbf{a)}\ 120 \qquad\textbf{b)}\ 220 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 96 \qquad\textbf{e)}\ 55$

13.2
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_8+x_9<3$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_9)$ 'lusu vardır?

$\textbf{a)}\ 55 \qquad\textbf{b)}\ 120 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 96 \qquad\textbf{e)}\ 64$

13.3
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_5+x_6<4$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_6)$ 'lısı vardır?

$\textbf{a)}\ 84 \qquad\textbf{b)}\ 120 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 96 \qquad\textbf{e)}\ 100$

13.4
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_4+x_5<5$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_5)$ 'lisi vardır?

$\textbf{a)}\ 126 \qquad\textbf{b)}\ 84 \qquad\textbf{c)}\ 120 \qquad\textbf{d)}\ 132 \qquad\textbf{e)}\ 144$

13.5
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_7+x_8<4$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_8)$ 'lisi vardır?

$\textbf{a)}\ 165 \qquad\textbf{b)}\ 84 \qquad\textbf{c)}\ 126 \qquad\textbf{d)}\ 132 \qquad\textbf{e)}\ 144$

13.6
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_8+x_9<4$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_9)$ 'lusu vardır?

$\textbf{a)}\ 220 \qquad\textbf{b)}\ 184 \qquad\textbf{c)}\ 120 \qquad\textbf{d)}\ 196 \qquad\textbf{e)}\ 144$

13.7
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_9+x_{10}<3$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_{10})$ 'lusu vardır?

$\textbf{a)}\ 66 \qquad\textbf{b)}\ 55 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 78 \qquad\textbf{e)}\ 84$

13.8
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_{10}+x_{11}<3$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_{11})$ 'lisi vardır?

$\textbf{a)}\ 78 \qquad\textbf{b)}\ 55 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 66 \qquad\textbf{e)}\ 84$

13.9
$x_i$ ler negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $x_1+x_2+ \cdots +x_{11}+x_{12}<3$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,x_2,...,x_{12})$ 'lisi vardır?

$\textbf{a)}\ 91 \qquad\textbf{b)}\ 55 \qquad\textbf{c)}\ 66 \qquad\textbf{d)}\ 78 \qquad\textbf{e)}\ 84$

14.1
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{16}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{16x}{x^2-3x+16}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.2
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{18x}{x^2-4x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.3
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{20}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{21x}{x^2-4x+20}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.4
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{18x}{x^2-10x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.5
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{10}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{12x}{x^2-4x+10}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.6
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{12}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{22x}{x^2-4x+12}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 7$

14.7
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{13}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{11x}{x^2-4x+13}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.8
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{14x}{x^2-4x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 6$

14.9
$x \in \mathbb R$ olmak üzere, $x+\dfrac{15}{x}$ sayısı bir asal sayı ise, $\dfrac{10x}{x^2-4x+15}$ ifadesinin alabileceği değerlerin kaçı $1$ 'den büyüktür?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 6$

15.1
Berk ve Alper kardeşler, evlerinden $12$ km uzaklıktaki bir tepenin zirvesine doğru koşuyorlar. Sonra aynı rota ile geri dönüyorlar. Berk koşmaya, Alper'den $20$ dakika önce başlıyor ve yokuş yukarı $15$ km/saat hızla, yokuş aşağı ise, $20$ km/saat hızla koşuyor. Alper ise, yokuş yukarı $20$ km/saat hızla koşuyor. Alper zirveye giderken, Berk de zirveden dönerken tepenin zirvesinden $x$ km uzakta karşılaştıklarına göre $3x$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 8$

16.1
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $5$ ve $2$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $39$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 70 \qquad\textbf{b)}\ 56 \qquad\textbf{c)}\ 55 \qquad\textbf{d)}\ 68 \qquad\textbf{e)}\ 71$

16.2
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $6$ ve $1$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $43$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 42 \qquad\textbf{b)}\ 41 \qquad\textbf{c)}\ 39 \qquad\textbf{d)}\ 37 \qquad\textbf{e)}\ 44$

16.3
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $4$ ve $2$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $7$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 15$

16.4
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $5$ ve $1$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $31$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 28 \qquad\textbf{e)}\ 32$

16.5
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $4$ ve $1$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $21$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 30 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 23$

16.6
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $2$ ve $1$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $7$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

16.7
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $3$ ve $2$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $19$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30 \qquad\textbf{b)}\ 28 \qquad\textbf{c)}\ 29 \qquad\textbf{d)}\ 31 \qquad\textbf{e)}\ 32$

16.8
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $3$ ve $1$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $13$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 15$

16.9
Bir büyük çemberin içine, ikişer ikişer birbirlerine ve en dıştaki çembere teğet olan üç çember çiziliyor. Yarıçapları $4$ ve $3$ olan iki çemberin merkezleri en dıştaki çemberin çapı üzerinde ise, üçüncü çemberin yarıçapının $37$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 84 \qquad\textbf{b)}\ 79 \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 83 \qquad\textbf{e)}\ 71$

17.1
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1499)-S(1500)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 744 \qquad\textbf{b)}\ 746 \qquad\textbf{c)}\ 728 \qquad\textbf{d)}\ 720 \qquad\textbf{e)}\ 750$

17.2
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1249)-S(1250)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 617 \qquad\textbf{b)}\ 619 \qquad\textbf{c)}\ 610 \qquad\textbf{d)}\ 596 \qquad\textbf{e)}\ 625$

17.3
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1239)-S(1240)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 613 \qquad\textbf{b)}\ 615 \qquad\textbf{c)}\ 590 \qquad\textbf{d)}\ 600 \qquad\textbf{e)}\ 620$

17.4
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1019)-S(1020)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 507 \qquad\textbf{b)}\ 509 \qquad\textbf{c)}\ 500 \qquad\textbf{d)}\ 496 \qquad\textbf{e)}\ 510$

17.5
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1299)-S(1300)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 646 \qquad\textbf{b)}\ 648 \qquad\textbf{c)}\ 595 \qquad\textbf{d)}\ 607 \qquad\textbf{e)}\ 650$

17.6
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1199)-S(1200)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 597 \qquad\textbf{b)}\ 599 \qquad\textbf{c)}\ 580 \qquad\textbf{d)}\ 590 \qquad\textbf{e)}\ 600$

17.7
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1109)-S(1110)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 552 \qquad\textbf{b)}\ 554 \qquad\textbf{c)}\ 520 \qquad\textbf{d)}\ 524 \qquad\textbf{e)}\ 555$

17.8
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1001)-S(1002)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 498 \qquad\textbf{b)}\ 500 \qquad\textbf{c)}\ 496 \qquad\textbf{d)}\ 492 \qquad\textbf{e)}\ 501$

17.9
$S(n)$ ile $n$ doğal sayısının rakamları toplamı gösterilmek üzere, $S(1)-S(2)+S(3)- \cdots +S(1111)-S(1112)$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 551 \qquad\textbf{b)}\ 524 \qquad\textbf{c)}\ 519 \qquad\textbf{d)}\ 526 \qquad\textbf{e)}\ 556$

18.1
$a_0=15$, $a_1=27$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 78 \qquad\textbf{b)}\ 32 \qquad\textbf{c)}\ 55 \qquad\textbf{d)}\ 64 \qquad\textbf{e)}\ 72$

18.2
$a_0=10$, $a_1=10$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 20$

18.3
$a_0=11$, $a_1=11$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 22 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 25$

18.4
$a_0=21$, $a_1=6$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 20$

18.5
$a_0=9$, $a_1=16$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 27 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 25$

18.6
$a_0=20$, $a_1=12$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 44 \qquad\textbf{b)}\ 32 \qquad\textbf{c)}\ 35 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 36$

18.7
$a_0=20$, $a_1=22$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 84 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 62 \qquad\textbf{d)}\ 64 \qquad\textbf{e)}\ 54$

18.8
$a_0=13$, $a_1=16$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 39 \qquad\textbf{b)}\ 32 \qquad\textbf{c)}\ 35 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 36$

18.9
$a_0=8$, $a_1=21$, $a_{m+1}=1$ ve her $k=1,2,...,m$ için $a_k(a_{k+1}-a_{k-1})=a_k-a_{k-1}-5$ koşulu sağlanıyorsa $m=?$

$\textbf{a)}\ 32 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 35 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 40$

19.1
$x^2+2x$ ve $x^3-13x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -9 \qquad\textbf{b)}\ -8 \qquad\textbf{c)}\ -11 \qquad\textbf{d)}\ -12 \qquad\textbf{e)}\ -10$

19.2
$x^2+2x$ ve $x^3-11x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -7 \qquad\textbf{b)}\ -9 \qquad\textbf{c)}\ -8 \qquad\textbf{d)}\ -6 \qquad\textbf{e)}\ -10$

19.3
$x^2+2x$ ve $x^3-9x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -5 \qquad\textbf{b)}\ -4 \qquad\textbf{c)}\ -8 \qquad\textbf{d)}\ -6 \qquad\textbf{e)}\ -7$

19.4
$x^2+2x$ ve $x^3-16x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -12 \qquad\textbf{b)}\ -10 \qquad\textbf{c)}\ -11 \qquad\textbf{d)}\ -13 \qquad\textbf{e)}\ -9$

19.5
$x^2+2x$ ve $x^3-5x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -1 \qquad\textbf{b)}\ -2 \qquad\textbf{c)}\ -3 \qquad\textbf{d)}\ -4 \qquad\textbf{e)}\ -6$

19.6
$x^2+2x$ ve $x^3-8x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -4 \qquad\textbf{b)}\ -5 \qquad\textbf{c)}\ -8 \qquad\textbf{d)}\ -6 \qquad\textbf{e)}\ -3$

19.7
$x^2+2x$ ve $x^3-10x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -6 \qquad\textbf{b)}\ -5 \qquad\textbf{c)}\ -8 \qquad\textbf{d)}\ -10 \qquad\textbf{e)}\ -9$

19.8
$x^2+2x$ ve $x^3-15x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -11 \qquad\textbf{b)}\ -10 \qquad\textbf{c)}\ -12 \qquad\textbf{d)}\ -13 \qquad\textbf{e)}\ -9$

19.9
$x^2+2x$ ve $x^3-6x$ ifadelerinin her ikisini de tamsayı yapan $x$ irrasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2 \qquad\textbf{b)}\ -3 \qquad\textbf{c)}\ -4 \qquad\textbf{d)}\ -5 \qquad\textbf{e)}\ -6$

20.1
$P,$ baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden bir polinom ve $P$ polinomunun kökleri $a,b$ ve $c$ olmak üzere, $P(1)=6$ ve $P(-1)=-14$ eşitlikleri varsa,

$\dfrac{ab+bc+ca}{abc+a+b+c}$

ifadesinin değerinin $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 7$

21.1
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1010$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10$

21.2
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1212$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 13$

21.3
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=909$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 10$

21.4
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=808$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.5
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=707$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.6
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=606$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.7
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=505$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.8
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=404$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

21.9
Derecesi $101$ olan bir $P(x)$ polinomu,

$P(0)=0,\ P(1)=1,\ P(2)=2,\ ...\ ,P(99)=99,\ P(100)=100$ ve $P(101)=1111$

eşitliklerini sağlıyorsa bu polinomun baş katsayısının $100!$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 18$

22.1
$(a+b-c-d+e)^7$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 170 \qquad\textbf{b)}\ 110 \qquad\textbf{c)}\ 255 \qquad\textbf{d)}\ 266 \qquad\textbf{e)}\ 192$

22.2
$(a+b-c-d+e)^5$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 66 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 80 \qquad\textbf{d)}\ 84 \qquad\textbf{e)}\ 120$

22.3
$(a+b-c-d+e)^8$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 255 \qquad\textbf{b)}\ 250 \qquad\textbf{c)}\ 248 \qquad\textbf{d)}\ 216 \qquad\textbf{e)}\ 272$

22.4
$(a+b-c-d+e+f)^5$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 136 \qquad\textbf{b)}\ 144 \qquad\textbf{c)}\ 148 \qquad\textbf{d)}\ 120 \qquad\textbf{e)}\ 142$

22.5
$(a+b-c-d+e+f)^6$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 246 \qquad\textbf{b)}\ 250 \qquad\textbf{c)}\ 248 \qquad\textbf{d)}\ 216 \qquad\textbf{e)}\ 272$

22.6
$(a+b-c-d+e+f)^4$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 70 \qquad\textbf{b)}\ 76 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 128 \qquad\textbf{e)}\ 96$

22.7
$(a+b-c-d+e+f+g)^4$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 120 \qquad\textbf{b)}\ 84 \qquad\textbf{c)}\ 128 \qquad\textbf{d)}\ 112 \qquad\textbf{e)}\ 96$

22.8
$(a+b-c-d+e+f+g)^3$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 50 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 56 \qquad\textbf{e)}\ 68$

22.9
$(a+b-c-d+e)^6$ ifadesi açıldığında tüm benzer terimler toplandıktan sonra pozitif katsayıya sahip kaç terim elde edilir?

$\textbf{a)}\ 110 \qquad\textbf{b)}\ 170 \qquad\textbf{c)}\ 255 \qquad\textbf{d)}\ 266 \qquad\textbf{e)}\ 84$

23.1
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{36}$ sayısının $37$ 'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 28 \qquad\textbf{b)}\ 24 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 16$

23.2
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{30}$ sayısının $31$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 22 \qquad\textbf{b)}\ 18 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 9$

23.3
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{52}$ sayısının $53$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 44 \qquad\textbf{b)}\ 40 \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 29$

23.4
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{100}$ sayısının $101$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 92 \qquad\textbf{b)}\ 78 \qquad\textbf{c)}\ 89 \qquad\textbf{d)}\ 88 \qquad\textbf{e)}\ 87$

23.5
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{70}$ sayısının $71$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 62 \qquad\textbf{b)}\ 58 \qquad\textbf{c)}\ 53 \qquad\textbf{d)}\ 52 \qquad\textbf{e)}\ 51$

23.6
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{60}$ sayısının $61$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 52 \qquad\textbf{b)}\ 48 \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ 41 \qquad\textbf{e)}\ 42$

23.7
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{46}$ sayısının $47$ 'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 38 \qquad\textbf{b)}\ 34 \qquad\textbf{c)}\ 29 \qquad\textbf{d)}\ 28 \qquad\textbf{e)}\ 27$

23.8
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{22}$ sayısının $23$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 3$

23.9
$x_1=11$ olmak üzere, $(x_n)$ dizisi $x_{n+1}+n=(n+1) \cdot x_n$ yinelemeli formül ile tanımlansın. Buna göre, $x_{40}$ sayısının $41$ 'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 32 \qquad\textbf{b)}\ 28 \qquad\textbf{c)}\ 23 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 21$

24.1
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{9a}{b+c}+\dfrac{16b}{a+c}+\dfrac{49c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 25 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 27 \qquad\textbf{e)}\ 23$

24.2
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{9a}{b+c}+\dfrac{16b}{a+c}+\dfrac{25c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 22 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 23 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 25$

24.3
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{25b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 1$

24.4
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{25b}{a+c}+\dfrac{49c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 19 \qquad\textbf{c)}\ 21 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 23$

24.5
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{25b}{a+c}+\dfrac{36c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 9$

24.6
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{25a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 7$

24.7
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{25c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 14$

24.8
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 9$

24.9
Negatif olmayan $a,b,c$ reel sayıları için $S=\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{9c}{a+b}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 13$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2022