2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

5.1


$(x,y)$ noktası şekildeki dikdörtgensel bölgenin içindeki veya sınırındaki noktalar arasından seçilmek koşuluyla

            $(x^2+y^2)+5(x-y)$

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 86 \qquad\textbf{b)}\ 88  \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 85 \qquad\textbf{e)}\ 83$

[taftazani44]

$\begin{aligned}x^{2}+5x+y^{2}-5y= x^{2}+2\dfrac{5}{2}x\pm \dfrac{25}{4}+y^{2}-2\dfrac{5y}{2}\pm \dfrac{25}{4}=\left( x+\dfrac{5}{2}\right) ^{2}+\left( y-\dfrac{5}{2}\right) -\dfrac{50}{4}\end{aligned}$ şeklinde yazabiliriz.
x=5,y=-4 alırsak

$\begin{aligned}\left( 5+\dfrac{5}{2}\right) ^{2}+\left( -4-\dfrac{5}{2}\right) ^{2}-\dfrac{50}{4}=\dfrac{225}{4}+\dfrac{169}{4}-\dfrac{50}{4} =\dfrac{344}{4}=86\end{aligned}$
Bulunur.