Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 1998 Çözümleri

$1111\dots 1122\dots 2225=111111\dots 111+1111\dots 111+3$ şeklinde yazalım. İlkinde $3996$ tane $1$, ikincisinde de $1999$ tane $1$ vardır. Sonlu geometrik toplam formülünden:
$$\dfrac{10^{3996}-1}{9}+\dfrac{10^{1999}-1}{9}+3=\dfrac{10^{3996}+10^{1999}+25}{9}
=\left( \dfrac{10^{1998}+5}{3}\right )^2$$ bir tam karedir. Çünkü $10^{1998}+5 \equiv 1+5 \equiv 0 \pmod 3 $ olup $\dfrac{10^{1998}+5}{3}$ bir tam sayıdır.



Not: 2009'da forumda http://geomania.org/forum/index.php?topic=1612.0 bağlantısında bu soruyu sormuşuz. Aynı çözümü düzenlenerek ekliyorum. (10 yıl geçmiş, ne güzel )

$|BC|=x$, $|DE|=y$ dersek $x+y=1$ olur. $ABC$ dik üçgenini $A$ noktası etrafında $m(\widehat{BAE})$ kadar döndürerek $AEC'$ dik üçgenini oluşturalım. Diğer bir deyişle, $AEC' \cong ABC$ olacak biçimde $AEC'$ eş üçgenini çizelim.

Bu eşliğe göre $|C'A|=|CA|$, $|BC|=|EC'|=x$ olup $D,E,C'$ doğrusal olduğundan $|DC'|=x+y=1$ olur. Böylece $ACD \cong AC'D$ kenar-kenar-kenar eşliği vardır. Dolayısıyla $Alan(ABCDE)=Alan(ACDC')=2\cdot  Alan(ADC')=2\cdot  \dfrac{|AE|\cdot |DC'|}{2}=1$ elde edilir $\blacksquare $

Çözüm (Lokman GÖKÇE): Ana denklemimiz

$ m^n = n^{m-n} \tag{1}$

dir. $m=n$ durumunda $(m,n)=(1,1)$ çözümü vardır. $m<n$ durumunda $n^{m-n} \not\in \mathbb Z^+$ olup çözüm yoktur.

O halde $m>n>1$ durumuna bakalım. $m^n = n^{m-n} < m^{m-n}$ olup $n<m-n \implies m>2n$ elde edilir. $\text{obeb}(m,n)=d$ dersek $m=ad$, $n=bd$ ve $\text{obeb}(a,b)=1$ olacak şekilde $ a, b \in \mathbb Z^+$ vardır. Bu değerleri $(1)$ denkleminde yazarsak $a^nd^n = b^{m-n}d^{m-n}$ olup

$a^n = b^{m-n}d^{m-2n} \tag{2}$

elde edilir. Bu denkleme göre $b \mid a^n$ olup $1=\text{obeb}(a,b)=\text{obeb}(a^n,b)=b$ olup $b=1$, $n=d$ elde edilir. Dolayısıyla

$ a=d^{a-2}, \qquad m=d^{a-1}, \qquad n=d \tag{3}$

eşitliklerine ulaşırız. Ana fikrimiz şudur: $d^{a-2}$ çok hızlı arttığından $a=d^{a-2}$ denkleminin çok sınırlı sayıda çözümü gelecektir. O halde bu fikir üzerinde düşünerek $a=d^{a-2}$ denkleminin $d\geq 1$ ve $a>2$ koşulları altındaki çözümlerini araştıralım:

$\bullet$ $d=1$, $a>2$ için $a=d^{a-2}$ denkleminin çözümü yoktur.

$\bullet$ $d=2$ için $a=2^{a-2}$ olup $a\in \{ 4, 8, 16, 32, \dots \}$ olur. Yalnızca $a=4$ değeri sağlar ve $(m,n)=(8,2)$  çözümüne ulaşılır.

$\bullet$ $d=3$ için $a=3^{a-2}$ olup $a\in \{ 3, 9, 27, 81, \dots \}$ olur. Yalnızca $a=3$ değeri sağlar ve $(m,n)=(9,3)$  çözümüne ulaşılır.

$\bullet$ $d\geq 4$ ve $a>2$ için $a=d^{a-2}$ denkleminin çözümü olmadığını gösterelim. $a=d^{a-2} \geq 4^{a-2}$ dir. $16a \geq 4^a $ eşitsizliğinde $a=3$ yazarsak $16\cdot 3 \geq 4^3$ olup yanlıştır. Yine $a\geq 4$ tam sayıları için $4^a$ ifadesi, $16a$ ya göre çok hızlı artacaktır ve $16a \geq 4^a $ olması mümkün değildir. Böylece $d\geq 4$ ve $a>2$ tam sayıları için $a=d^{a-2}$ denkleminin çözümü yoktur.

Böylelikle $(1)$ ana denkleminin tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı çözüm ikilileri $(1,1), (8,2), (9,3)$ olarak bulunur.