Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 1999 Çözümleri

Merkezi $O$ ile gösterilen bir çember ile bu çemberin bir $[AB]$ çapı, $A$ noktasındaki teğeti ve bu çapa paralel olan bir $[CD]$ kirişi çiziliyor. $BC$ ve $BD$ doğrularının $A$ dan geçen teğeti kestikleri noktalar $E$ ve $F$ ile gösterilmek üzere, $|AB|=10$ için $|AE|\cdot |AF|$ çarpımını hesaplayınız.

Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

Çözüm:

Şekilde $ABDC$ ikizkenar yamuk olduğundan $m(\widehat{CAB})=m(\widehat{ABD})$, $m(\widehat{FAC})=m(\widehat{ACB})=90^\circ$ olduğundan $m(\widehat{CAE})=m(\widehat{ABC})=m(\widehat{BFA})$ olup $ABF \sim AEB $ (açı-açı-açı) benzerliği vardır. Böylece $\dfrac{|AB|}{|AE|}=\dfrac{|AF|}{|AB|}$ olup $|AE|\cdot |AF|=|AB|^2$ elde edilir. $|AB|=10$ için $|AE|\cdot |AF|=100$ bulunur.

$1$ den $20$ ye kadar olan tam sayılardan her biri aşağıdaki şekilde işaretlenmiş noktalara yerleştiriliyor. İki işaretlenmiş noktayı birleştiren, şekilde çizili doğru parçası üzerinde başka hiçbir işaretlenmiş nokta yoksa, bu iki noktaya komşu noktalar diyoruz. Sayıları nasıl yerleştirirsek yerleştirelim, üstlerindeki sayıların farkının $3$ ten büyük olduğu en az iki komşu noktanın bulunduğunu kanıtlayınız.

Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

Çözüm:

$1$, en içteki ya da en dıştaki beşgenin köşelerinden biri olmalı. Aksi halde $1$ in dört komşusu olur. Bunlardan biri en az $5$ olacağından ve $5-1=4>3$ olacağından, sorudaki önerme kaçınılmaz olur.
En iç ya da ya da en dış aslında simetriktir. (Sorudaki düzlemsel beşgenleri aslında uzayda birbirine paralel $4$ düzlem üzerindeki $4$ eş beşgen olarak görebilirsiniz. Tabanı ve tavanı eş beşgenlerden oluşan $3$ eş dik prizma gibi. )
$1$ in en dıştaki beşgenin köşelerinden birine yazıldığını varsayalım.
Komşu köşelere $2,3,4$ yazılacak. $2,3,4$ ün birbiriyle komşuluğu olmadığı için $2$ in henüz sayı yazılmamış en az iki komşusu vardır. Bunlardan biri en az $6$ olmalı. Bu durumda $6-2=4>3$ olacağı için, farkları $3$ ten büyük en az iki komşu köşenin varlığı kaçınılmazdır.

$d(n)$ ile $n$ tam sayısını bölen en büyük tek tam sayıyı gösterelim. $d(1)+d(2)+d(3)+\cdots +d(2^{99})$ toplamını hesaplayınız.

Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.