Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1999 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$1$ den $20$ ye kadar olan tam sayılardan her biri aşağıdaki şekilde işaretlenmiş noktalara yerleştiriliyor. İki işaretlenmiş noktayı birleştiren, şekilde çizili doğru parçası üzerinde başka hiçbir işaretlenmiş nokta yoksa, bu iki noktaya komşu noktalar diyoruz. Sayıları nasıl yerleştirirsek yerleştirelim, üstlerindeki sayıların farkının $3$ ten büyük olduğu en az iki komşu noktanın bulunduğunu kanıtlayınız.

Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

[geo]

Bu haliyle, $k-$inci beşgen saat yönünde $5(k-1)+1,5(k-1)+2,5(k-1)+3,5(k-1)+5,5(k-1)+4$ şeklinde sıralınırsa komşu noktalar arasındaki fark en fazla $3$ olur. Sorudaki önerme yanlış olur.
Büyük ihtimalle sorudaki çizge ekteki şekildeki gibi bir çizge.

[geo]

$1$, en içteki ya da en dıştaki beşgenin köşelerinden biri olmalı. Aksi halde $1$ in dört komşusu olur. Bunlardan biri en az $5$ olacağından ve $5-1=4>3$ olacağından, sorudaki önerme kaçınılmaz olur.
En iç ya da ya da en dış aslında simetriktir. (Sorudaki düzlemsel beşgenleri aslında uzayda birbirine paralel $4$ düzlem üzerindeki $4$ eş beşgen olarak görebilirsiniz. Tabanı ve tavanı eş beşgenlerden oluşan $3$ eş dik prizma gibi. )
$1$ in en dıştaki beşgenin köşelerinden birine yazıldığını varsayalım.
Komşu köşelere $2,3,4$ yazılacak. $2,3,4$ ün birbiriyle komşuluğu olmadığı için $2$ in henüz sayı yazılmamış en az iki komşusu vardır. Bunlardan biri en az $6$ olmalı. Bu durumda $6-2=4>3$ olacağı için, farkları $3$ ten büyük en az iki komşu köşenin varlığı kaçınılmazdır.